Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Лінійна розмірність просторів (ІАр)) і (Кр)) 171 нерівність \і Ц\ І|*| + 1, (27) п-1 де {E/} = 5n«i= Z хік\ через N позначено таке натуральне число, що Д<1. (28) Так означене xtn існує на підставі (25). На основі означення маємо: || sn \\р = ||*„-і + хи ||р = f | Е/ + Sj»| p -f І 11, + #|р, звід- N ки, зважаючи яа (27) і на нерівність Holder'a || вп \\р < 2 І \] \ р + 1 + + \\2\Zi p\ + \ 2 \?f\p) , а також на основі (26) і (28) L\/~v / v-jv / J маємо j| sn \\p < || «n-i || p + 1 + (1 + M) p = || sn_! || p + (7, де C = 1 -f -f- (1 -j- M) p. Звідси виходить, що II 5n IIp < G -n. На основі означення «n одержуємо рівність (24), що й треба було довести. Зауваження. Теорема 3 перестає бути справедливою для р > 1, коли в формулі (24) замінити О знаком о. Справді, досить покласти р f 1 Для і = г ^г ~ \ 0 для і ф г, щоб для довільної частинної послідовності {#,*} одержати п З попередніх теорем 2 і 3 виведемо кілька співвідношень, спочатку між лінійними розмірностями просторів (LW) і (И&), а тоді між лінійними розмірностями просторів (Z(p>) і (#«>) і, нарешті, між лінійними розмірностями просторів (2><р>) і лінійними розмірностями просторів (№), покладаючи р > 1 < q. Лема. Якщо 6imi(L^) < dimz(i(9)), де р > 1 < q, то маємо або q < 2? < 2, або 2 < р < q. Доведення. За умовою існує лінійна операція у =17 (х), де х ? (?(р)), яка перетворює (L^) в замкнений підпростір G про- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)