Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Лінійна розмірність просторів (L(P)) і (Up)) 173 послідовність {Yni}. Коли позначимо її границю через Го, то одержимо U(Y0) = @, бо послідовність {Хш} слабо збігасться до 0. Як висновок маємо: Xn = U(Ym — Yo) і, крім цього, послідовність {Ym — Fo} слабо збігається до 0. Докладаючи Tt = Ym—Y0 для * = 1, 2, ..., (31) можна на підставі теореми 2, ст. 168, вибрати таку частинну послідовність {Yik}, що п 2 к=і (32) звідки, покладаючи Xtk = U (Y^); одержуємо | Х<%к | < | U \ • | Ytk \ і (33) 2 к=1 Тому що за означенням послідовність {Xt^ є частинною послідовністю послідовності {Хп}, то з (32) і (33) і на підставі зауваження, ст. 170, виходить, що 1 1 лл If * І W І і * л ' звідки на основі (ЗО) і означення функції <р легко одержуємо нерівності, що їх треба було довести. З цісї леми легко вивести такі теореми: Теорема 4. Якщо біті(№>) == dim/ІЬЩ, де p>l<q, то маємо p—q. Теорема 5. Якщо 1 < р < 2 < q, то простори (№>) і (LW) є непорівнювальних лінійних розмірностей. Теорема 6. Якщо 1<рф2, то маємо dimi{Щ < dimi(№>). Доведення. Нехай, для х (t) ? (L2): у (t) = ^ + % (at cos 24 + Ьі sin 2Н), itdt де at = — їх (t) cos i&ft і 6f = —/ х (t) sin it тсо тсо для всіх і = 0, 1, 2, ... 00 Тому що 2* (а? + ^і) = /#2 (О <Й, то існує г таке стале Jf > О, 1 На підставі теореми A. Zygmund'a (див. Sur lee series Crigono- metriques lacunaires, Proceed. London. Math. Soc. б (1930), ст. 138—146. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)