Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
174 Розділ XIL Лінійна розмірність залежне тільки від р, що lo J L*=o 1 Отже, покладаючи у — U(z), маємо у ? (?(р)) і попередню нерівність можна написати у вигляді так що операція є лінійна. З другого боку, існує1 таке стале К, що і \і(агі + Ь\)У <Kf\y{t)\dt, L і=о J о 8відки, зважаючи на нерівність Riesz'a (див. Вступ, § 2, ст. б): u=o J отже, || х || < С || у ||, де С = К У2к, так що U(x) допускає обернену неперервну операцію. Тому маємо співвідношення біті (L2) < dimz (?(р)), де знак рівності виключається (тому що тоді на підставі теореми 4, ст. 173, ми мали б рівність р = 2, що суперечить умові), що й треба було довести. Треба підкреслити, ідо залишається відкритою така проблема: чи справедливе твердження, що для q < р < 2, а також для 2 < р < q 8авжди маємо dim* (?(р)) < dimz (L^). Для просторів (Z(p)) і (ІЩ маємо: Теорема 7. Простори (1^) і (Z^>), де 1 <p=?q > 1, є непоргвню- вальних лінійних розмірностей. Доведення. Пскладаючи dimz (Z(p)) < dimz (l(q)) і роблячи як при доведенні леми, ст. 171, одержуємо справді нерівності (які відповідають формулам (ЗО) і (34)): 1 1 . р — 1 q — 1 — < — і < , р q p q звідки повинно бути р = q, що суперечить умові. 1 Див. S. Banach, Lacunare trigonometrische Beihen, Studia Mathematica II (1930), ст. 212. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)