Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Лінійна розмірність просторів (ІАр)) і (Up)) J75 Перейдемо до співвідношень лінійних розмірностей між і {Щ. Теорема 8. Якщо віті{І№) < dinft{№), де p>l<q, то маємо р = q = 2. Доведення. Таким самим способом одержуємо (замість (ЗО) і (34)): Де 1 — для п < 2 * (35) _ для п > 2. 2 Звідси виходить, що ^ = q = 2, що й треба було довести, З попередньої теореми 8 і на основі теореми 1 (розд. XI, § 2), ст. 141, виходить: Висновок. Щоб dimz (?(p)) = dimz (Z(9)), необхідно і достатньо, щоб р = q — 2. Теорема 9. Коли 1 <рф2, то мовмо dimz(?(p)) > dimi (№*>). Доведення. Справді, коли б було навпаки dim/ (j№>) < dimz (?(p)), то на підставі теореми 8, покладаючи там р = q, ми одержали б рівність р = 2, що суперечить умові. Залишається довести, що розглядувані простори 8 порівнювальних лінійних розмірностей. Покладемо для цього: 2Р ДЛЯ 7ї7 < t < ^tzt 0 для 0 < t < -щ- і 27П < і < !» і звідки /І уі(0 |р<й = 1; отже, yt (і) Є (L{p)) ДЛЯ * — 1» 2> •••! не- о хай для кожного х — {?і} ^ (І(р)) 2/ (*) = І 5* У* (0, і звідки у 11/ (0 |р<й = 2 1 Ь \р- Отже, покладаючи у = U(x), одержуємо ]| у Ц = Н ? ||, звідки виходить, що операція U(x) в лінійна і має неперервну обернену операцію. Значить, вона перетворює ізоморфно (№) в підпростір простору (?(р)). Теорема 10. Для 1 < q < р < 2, а також для 2 < р < q, простори (Х(р)) і {V-q)) є непорівнювальних лінійних розмірностей. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)