Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
178 Додаток. Слаба збіжність у просторах типу (В) Легко переконуємось, що так означена множина Г є лінійна, замкнена і не містить у собі функціонала вигляду (1), де Сі=1 і С/=0 для і = 2? 3, ... Отже, зважаючи 'на те, що останній функціонал є (див. зауваження в розд. VIII, § 6, ст« 112) слабою границею послідовності {Хк} функціоналів вигляду (1), де ~ т _ f 1 для і = 1 і і = h 1 ~ \ 0 для і Ф 1 і іфк> то множина Г яе в слабо замкнена. Теорема 1. Для кожного натурального п існує лінійна множина лінійних функціоналів, означених у просторі (с0), для якої слаба похідна п-го порядку не є слабо замкнена \ Доведення. Зважаючи на те, що кожний лінійний функціонал Х> оо означений в (с0), має вигляд (1), де х = {?*} ? (с0) і 2,1 d І = ІX І, то нехай Ах буде множина тих лінійних функціоналів, де Си = О, а А2 — множина тих функціоналів, де Сіі-і = 0 для і = 1, 2, ... Припорядкуемо кожній парі r, s натуральних чисел взаємно однозначно парне число N {r, s) і позначимо через Zr, s лінійний функціонал виду Zr, s (x) = 2}Сі?,і, де х = {?*} ? (с0), означений в (с0) і такий що ГІ для i = N(r,s) \0 для i=?N{r,s). K) Розглянемо довільну лінійну множину G лінійних функціоналів, означених в (с0). Нехай Н — множина всіх лінійних функціоналів вигляду (1), де (7гі = 0 для і = 1, 2, ...., і таких, що функ- 00 ціонал 2JC2i-i?,i міститься в G. Так означена множина Н є, оче- видно, лінійна; отже, маємо Н СІ Al» Множина Ах як підмножина простору (І) є сепарабельна. Отже, Н містить у собі послідовність функціоналів {Yr}, густу в множиш функціоналів з нормами < 1, що належать до Н, і таку, що | Гг | < 1 для г = 1, 2, ... (3) Для натуральних г і s покладемо Xr, s=Yr+ rZr, s (4) 1 Перший приклад лінійної множини лінійних функціоналів, якої слаба похідна не G слабо замкнена, навів S. Mazurkiewicz (Sur la dirivee faible d'un ensemble de fonctionnelles lineaires, Studia Mathematica II (1930), ст. 68-71). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)