Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
180 Додаток. Слаба збіжність у просторах типу (В) Отже, па підставі (10) маємо: 2г\Ьт\<м. (її) 1 Для кожного натурального m маємо: оо т—1 оо оо 2\ь™-ьг\< j |б»>_б,| + 2|&<*>| + 2\Ьг\, г=1 г=1 г=яі г=т звідки, на основі (11) і на підставі означення - ЬГу виходить перів- оо 7LT ність Нт 2 і ^г — br I < 2 —, а звідси, тому що m — довільне, одер- /->« r=i m жуємо: —Ьт | =0. 00 Зауважуємо, що ряд 2brYr на основі (3) і (11) є збіжний, і з по- передньої рівності, на підставі (8), виходить, що X є його сумою. Тому що Гг?Я для натуральних г, а Я є лінійною множиною, маємо X' ?Я'. Так доведено, що для X = X' -\~Х" ? Ці), де X ? Aj і X" ? Д2, маємо X ?Я'. Отже, формулу (9) доведено. З другого боку, легко стверджуємо, що послідовність {ZrtS} слабо збігається до 0, якщо s—>¦ оо; отже, на основі (4), послідовність {Xr,s} слабо збігається до Yr, якщо s—> оо. Тим самим, маємо ТГ?Г{1) дпяг = 1, 2, ... (12) Нехай тепер {Хк}, де ХкЄЦц для fc = 1, 2, ..., буде послідовність, що слабо збігається до X ? Аі-Г(2) *• Маємо, очевидно, Xk = X'k + Xfc, де Ха ? Я' і Xfe ^ Д2. Легко бачити, що послідовність {Х'к} слабо збігається до X, звідки X ? Я(і>. Навпаки, для кожного X G Я(і) існує послідовність {Хк} функціоналів, що належать до Я і слабо збігаються до X. Можемо припустити, не порушуючи загальності, що | Хк \ < 1 для довільного к = 1, 2, ... На підставі означення послідовності {Fr} для кожного к існує такий індекс Гк, що \Хк—^г*|<-г» так Щ° послідовність {ТГЛ також слабо збігається до X. Звідси на підставі (12) виходить, 1 Символом АБ позначається взагалі спільна частина множин А і В. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)