Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 1. Слабі похідні множин лінійних функціоналів 181 що X ? Г(2), звідки X G Ді .Г<2) (тому що за означенням Я(1) С Лі). Отже: = Я(і). (13) Роблячи так далі, можна 8а допомогою індукції довести, що маємо взагалі АіГ(п+і) =Я(П) для всіх п = 1, 2, ... (14) Тепер повернемося до даної множини О. Коли припустимо, що похідна G' множини О не є слабо «замкнена, то похідна Е' множини Н буде також не слабо замкнена і, на підставі (9) і (13), ту ж саму властивість матиме похідна Гщ множини Г. Аналогічно, коли припустити, що слаба похідна О(П~і) порядку п — 1 множини G не є слабо замкнена, то, очевидно, слаба похідна Hw п-го порядку множини Н також не буде слабо замкнена; отже, на підставі (14), слаба похідна Г(п+і) (л.+ ї)-го порядку множини Г також не є слабо замкнена, що й треба було довести. Зауваження. Можна означити слабі похідні Г^) трансфінітного порядку \ множини Г для трансфінітпих чисел \ другого класу, по- кладаючи Г^ = ? ЦП) або Гф = (Г^-і))(і), залежно від того, чи ? є граничним числом, чи ні. Тоді, за допомогою індукції, можна довести таку теорему — аналогічну теоремі 1: Для кожного трансфінітного числа ? другого класу існує лінійна множиш лінійних функціоналів, означених у просторі (с0), для якої слаба похідна порядку 5; не є слабо замкнена1. Тимчасом можна довести, що коли Е є сепарабельний простір типу (В), а Г — довільна множина лінійних функціоналів, означених в Е, то завжди існує таке число ? скінченне або трансфінітне другого класу, що множина Г^ є слабо замкнена, Це є легким висновком з теореми 4 (розд. VIII, § 5), ст. 107. Теорема 2. Нехай Е — сепарабельний простір типу {В), а лінійна множина. Для того щоб Гщ — Е, необхідно й достатньо, щоб існувало таке число М > 0, що для кожного х ? Е множиш Г містить у собі функціонал X, який задовольняє умови: \Х\ < М і \Х(х)\ = \х\. (15) Доведення. Необхідність. Нехай для кожного натурального п Ап — множина лінійних функціоналів, означенах в Е, які є слабими границями послідовностей {Xj^ функціоналів, що належать до .Гі 1 Див. S. В а п а с h , Sur le dirive faible des ensembles de fonciionnelles lineaires, Studia Mathematica IV. 2 Через Е позначимо, як і раніше, простір, спряжений з І2, тобто простір лінійних функціоналів, означених в Е. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)