Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
182 Додаток. Слаба збіжність у просторах типу (В) задовольняють нерівність | X* \ < п для k = 1, 2, ... Отже, на під- . 00 ставі теореми 2 (розд. VIII, § 4), ст. 107, маємо Гщ = ,2* An, звідки п=1 за умовою ?= І А„. (16) п=1 Зауважуємо, що кожне Ап є замкненою множиною. Справді, нехай \Xj} — послідовність функціоналів, шо належать до Ап, де lim \Xj — X І =0. Отже, за означенням Ап для всіх j існує послідов- ність {Xfc}, яка слабо збігається до X/, де Хк ? Г і \ Х'к | < п для к = 1, 2, ... Якщо дана послідовність {хг} густа в Е, то з рівно- стей lim Х{. (хг) = X/ (^г) і lim X/ (#г) = X {хг), справедливих для будь- яких ^ і г, виходить існування такої послідовності {X'kf}, що lim Xfy {xr) = X (а;г) для всіх г = 1, 2, ... Звідси, тому що | Х^ | < п ;->оо і на підставі теореми 2 (розд. VIII, § 4), ст. 107, виходить, що послідовність {Х^} слабо збігається до X, звідки X ? Дп. Тому що кожне An є замкнене і простір Е є також типу (В), то з рівності (16) випливає існування такого індекса п0, що АПо містить у собі сферу К?2Е. Позначимо через X' центр, а через р радіус сфери К. Коли дано елемент х ? Е, то на основі теореми 3 (розд. IV, § 2), ст. 46, існує такий функціонал Хо ? 1?, що Хо (х) = | х | і | Хо | = 1. (17) Покладемо Х = , ,Р і X"=XX0-f(l-X)X\ (18) Звідси легко одержуємо І X"—X'J < р, звідки X" Є| і? С АПв. Отже, існують дві послідовності {Xfc} і {Xfe} функціоналів, що належать до Г і слабо збігаються відповідно до X' і X"'; тому маємо одночасно: | Х?| < п0 і | Х'й | < 7&0 для k = 1, 2, . . . (19) Послідовність !—Xfc — Xfc J міститься в Г і на основі (18) слабо збігається до Хо. Отже, на основі (17) існує такий індекс к0> що ¦f Х? (ж) - Ц^ Zt (я:) = а • | а? N Де -^ < а < 2. (20) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)