Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 1. Слабі похідні множин лінійних функціоналів 183 ' _ 1 /1 лг„ 1-Х ~, \ Отже, покладаючи X = — — А^ — Jl^ і , одержуємо ОС \ Л А І Х?Г, Х(х) = \х\ і, на підставі (18) —(20), р + 2 | X' | + р), так що М не залежить від х. Тим самим умова (15) задовольняється. Достатність. Коли А позначає множину лінійних функціоналів X, що належать до Г і таких, що | X | < 1, то, на основі теореми 4 (розд. VIII, § 5), ст. 107 і, в А існує послідовність лінійних функціоналів {Хг}, слабо густа в А. Покладемо для кожного х ? Е У = {fir}, ДЄ YJr = Хг {Х) ДЛЯ Г = 1, 2, . . . (21) Тоді маємо (22) звідки у ? (т). Приймаючи для у таку саму норму, як у просторі (т), 8 (21) і (22) одержуємо: |у|<|ж|. (23) З другого боку, позначаючи через X ? Г функціонал, який за умовою задовольняє формули (15),покладемоX' =^Х Тоді | X' \ < 1, звідки X' ? А. Значить, існує частинна послідовність {Xrj}, слабо збіжна до X', звідки lim | Xrj(x) | = | X' (х) |, з чого на основі (15) /->» | і (21) виходить: Km | т)г | > | X (аг) | > -=^ | х \ і тим самим УІ>^І*І- (24) Прийнявши y = U(x), легко бачити, на підставі (21) і (22), що операція U(x) є лінійна, а на основі (24) обернена операція х = U~x{y) є також лінійна. Тому що простір Е, за умовою, є сепарабельний, то протиобласть Ех операції U (х), зважаючи на неперервність цієї операції, є також сепарабельна. Тепер нехай X — довільний лінійний функціонал, означений в Е, і ?(у)=Х[и-Цу)], (25) так що (тому що операція TJ-1 (у) є лінійна) Y є лінійним функціоналом, означеним в Ev На підставі теореми С. Мазура 1 Замінюючи тут Г на Д, а Д на {Хг}. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)