Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
184 Додаток. Слаба збіжність у просторах типу (В) (розд. IV, § 4), ст. 62 \ існує така подвійна послідовність чисел {<Хпг}, ЩО CO ]j ОСпгУ\г ДЛЯ П->оог=1 = 0 для г > кп, де {kn} — послідовність натуральних чисел. Звідси, на підставі (21), одержуємо: оо кп ' кп 2і *пгЧ\т = 2 «nr^r = 2 &пгХг (Х) = Хп (х), (27) г=1 г=1 ?=1 так що Хп?Г для п — \, 2, ..., бо Г є лінійною множиною і Хг Є А С Г. ¦ Отже, зважаючи на (26) і (27), маємо: Y [U(x)] — lim Xn(x), звідки, П->00 на основі (25), X(х) = limХп(х) для всіх х?Е; значить послідов- П->00 ність {Хп} слабо збігається до X Тим самим X ? Г(і), з чого виходить, що умова в справді достатня, що й треба було довести. Легко бачити, що множина Е всіх обмежених і неперервних дійсних функцій x(q), означених у довільній метричній множині Q, утворює простір типу (В), якщо додавання і множення на числа означимо звичайним способом, а за норму приймемо ||а|| = аирИв)|. (28) Якщо, крім цього, множина Q є компактна, то розглядуваний простір Е є сепарабельний. При цих умовах маємо: Теорема 3. Якщо через {gv} позначено послідовність точок, густу в множині Q, то для кожного лінійного Функціонала X, означеного в Е, існує така таблиця дійсних чисел {а^} і така послідовність натуральних чисел {кп}, що кп lira. 2 <*-ьх (Яг) = X (х) для х ? Е. і->оог=1 Доведення випливає з теореми 2, оскільки при цих умовах множині на Г лінійних функціоналів вигляду 2аіх(Яі)> Де а* — і ні числа, а т — довільне натуральне число, задовольняє умови теореми 2. 1 Замінюючи там Ь на |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)