Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Слаба збіжність елементів 185 Справді, для всіх х Є Е існує таке go?Q, що j ж (q0) | > -^ max \ x(q)\ = ~ "тгІІ^ІІ і тому що Хо (х) = х (q0) є лінійний функціонал з нормою 1, до- сить тільки покласти М = 2. Теорему 3 можна також легко одержати за допомогою безпосереднього застосування теореми С. Мазура, ст. 62. § 2. Слаба збіжність елементів. Нехай тепер Q — довільна абстрактна множина, необов'язково метрична, а Е простір типу (В) всіх обмежених дійсних функцій x(q) з нормою (28), означених в Q. Функціонал X, означений в Е, зветься невід'ємним, якщо для довільної функції х ?Е з умови x(q) > 0 для всіх q?Q виходить Х(х) > 0. Теорема 4. Кожний лінійний фунщіонал X, означений в Е, є різниг^ею двох лінійних невід'ємних функціоналів, означених в Е. Доведення. Для кожної підмножини S множини Q покладемо ^(S)-supX(cpT), (29) де фг позначає взагалі характеристичну функцію множини Т. Тоді маємо: 0<^(?)<||Х|| (ЗО) і ;л(/8і +#2) = [A (/Si) + [а ($2) Для $і і $2 без спільних елементів. На підставі (29) маємо тим більш X(9s) < ц(Я). (31) Нехай для кожної такої функції х ?Е, де |j x \\ = 15 буде 7 і? 7 —і—- І Xn(q) = — для — < #(#) < —— , де — п < і < п. (32) 7^ % % Маємо, очевидно, | xn(q) — ж(д') | < — для всіх q?Q, звідки Xa~x\\ < —І ТОМу х = lim іГп. (33) Нехай через /Sijrt позначено множину всіх елементів множини Q, /І що задовольняють рівність xn(q) = —, де —?г<г<^; покладемо п ^№п)- (34) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)