Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
186 Додаток. Слаба збіжність у просторах типу (В) _^ Легко довести, що, на підставі (33), границя (34) існує і на основі (ЗО) маємо: | X' (х) | < || X \\. Отже, функціонал X'(х) є невід'ємний, бо, припускаючи, що х (q) > 0 для всіх q ?Q, (35) 8 (ЗО) і (34) одержуємо нерівність X' (х) > 0. (36) Зауважуємо, з другого боку, що з (32) виходить xn(q) = п п = ^ — 9sitn(q)> звідки на основі (31) Х(хп) < ^ — (х(#*,п) і тому і=О І=О на основі (33) і (34) Х(х)<Х'(х), (37) так що функціонал Х"{х)=Х'{х)—Х{х) (38) є також невід'ємний, бо на основі (37) маємо нерівність X" (х) > 0 для всіх х, що задовольняють умову (35). Нарешті, на підставі (38) Х(х)=Х'{х)—Х"(х). Теорема 5. Щоб послідовність функцій {хп}, що містяться в Е, з обмеженими в своїй сукупності нормами, слабо збігалася до &, необхідно і достатньо, щоб Km Km I Xn(qt) | =0 (39) П->00 f->0O для кожної послідовності точок {qt}, що належить до Q. Доведення. Необхідність. Припустимо, навпаки, що для послідовності {#і} точок множини Q lim ^jj Xn(qi) \ > & > 0. n->oo Отже, існує така зростаюча послідовність {пк} натуральних чисел, що Km ] xnk(qt) | > а > 0 для всіх к і тому з {#і} можна ви- І->00 брати з допомогою діагонального методу таку частинну послідовність {qt)}, ЩО | Km хщ {qiD | > а > 0 для к = 1, 2, . . . (40) Розглянемо лінійний функціонал X, означений формулою X (х) = Lim x(qtf) для всіх х?Е, (знак Lim треба брати в розумінні, поданім у розд. II, § 3, 4, ст. 29). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)