Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Слаба збіжність елементів 187 Тоді на основі (40) маємо: |Х(жПі)| >а для h = 1, 2, ..., звідки Hm|X(a?n)| >а>0, (41) П->-ао так що послідовність {хп} не збігається слабо до 0. Достатність. Щоб довести, що послідовність функцій {хп}, де \хп\ <М для п = 1, 2, ... слабо збігається до @, досить довести, що немає жодного лінійного і невід'ємного функціонала X, який задовольняє нерівність (41). Тож припустимо навпаки, що такий функціонал X існує; можемо, очевидно, припустити, що Х| = 1 і ШпХ{хп) > а > 0. (42) Для кожного q ? Q покладемо 5 І 0 для xn(q) <O sn{q). Одна з границь lim X (sn) і lim X (tn) перевищує, очевидно, -^. П->-00 Тоді нехай (43) Тепер для всіх q ? Q покладемо Vn(q) = sn(q) для sn(q) 0 для sn(q) <¦?-. Отже, \\sn-уп\\ <-$> звідки, на основі (42) і (43), (44) Позначимо через /S^n підмножину множини Q всіх таких q ? Q, що | xn(q) | > -д-, і нехай q>n{q) — характеристична функція множини 1 Sn. Зважаючи на те, що \\уп\\ < ||*n|| < ||«n|| < №, маємо q>n(q) > jfyn для всіх q?Q і я = 1, 2, ...; отже, тому що функціонал X є невід'ємний, X (Jf<pn) > X (2/п), звідки на основі (44), покладаючи 1ітХ(<р„) > р > 0. (46) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)