Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Слаба збіжні&ть елементів 189 Очевидно, тоді для кожного »>? маємо: qi?Snf) звідки, за а означенням множин 8п, виходить нерівність | хщ {qt) \ > -«- для всіх j = 1, 2, ... 8 цього виходить, що lim | xnj{qi) \ > -^ і тим самим а lim lim I Xn(qi) \ > -«- всупереч умові (39). Теорема 6. Коли дано простір Е типу (Б), то для того щб послідовність {хп}, де хп?Е для »=1, 2, ..., з обмеженими в своїй сукупності нормами слабо збігалася до 0, необхідно і достатньо, щоб було lim Кт|Хі(а?п)[=0 (51) П->ОО для кожної послідовності функціоналів {Хі}, що належать до миодіситі Г лінійних функціоналів, означених в Е> які притому мають такі властивості: 1° множина норм функціоналів X ? Г є обмежена, 2° існує такь число N > 0, що для кожного елемента х?Е множина Г містить у собі функціонал X, який задовольняє нерівність Х(х) ># .|ж|. (62) Доведення. Для доведення достатності умови, розглянемо простір Ех всіх обмежених дійсних функцій, означених в Г. Припоряд- куємо кожному елементові х Є Е функцію / ? Ev визначену співвідношенням / (X) = Х(х) для X ? Г. (53) Позначаючи через М . верхню межу норм функціоналів X ? Г, покладемо / = U(х). На основі (53) і (52) маємо: N • | х \ < ||/ || < <Ж * \х\; отже, тому що операція U є адитивна, то вона лінійна; обернена до неї операція також є лінійна. Коли тепер послідовність {хп} задовольняє умову (51), то з (53), покладаючи fn(X) —X(xn)> робимо висновок, що lim П->оо З цього, на основі теореми 5, ст. 186, виходить, що послідовність {/п} слабо збігається до 0. Тому що операція о: = Ьг™1(/) є лінійна і #n — = V^ifn), то на підставі теореми 3 (ровд. IX, §5), ст. 124, виходить, що послідовність {хп} слабо збігається до ©. Подібно доводиться необхідність умови. Теорема 7. Коли дано простір Е типу (J5), то для того, щоб послідовність {хп} його елементів з обмеженими в своїй сукупності нор- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)