Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
190 Додаток. Слаба збіжність у просторах типу (В) мами слабо збігалася до 0, необхідно і достатньо, щоб \\тХ{хп) = 0 для всіх Х?Г, (54) П->00 де Г є слабо компактна множина функціоналів, які задовольняють властивості 1° і 2°. Доведення. Умова є необхідна за означенням слабої збіжності елементів. Для доведення, що вона є достатня, досить (на основі 6) довести, що з (54) випливає (51). Припустимо навпаки, що існує така частинна послідовність і послідовність {Хі} функціоналів множини Г, що Іііп | Хі(хПк) | > а > 0 для k = 1, 2, ... Зважаючи на те, що множина і11 є за умовою слабо компактна, існувала б частинна послідовність {-Х^}, слабо збіжна до функціонала Хо ? Г, звідки на основі (55) | XQ {хПк) | > а > 0 для к = 1,2, ... , всупереч рівності (54). З доведених теорем легко випливають такі теореми: Теорема 8. Коли дано послідовність {хп} дійсних неперервних і обмежених у своїй сукупності функцій, означених у метричній, компактній множині Q, то для того, щоб послідовність {хп} слабо збігалася до 0, необхідно і достатньо, щоб Km Xn(q) = 0 для всіх q?Q. П->00 Доведення одержуємо з теореми 7, позначаючи через Е простір дійсних неперервних функцій, означених в Q, а через Г множину всіх лінійних функціоналів X вигляду Х{х) = x(q), де х?Е і q ? Q, означених в Е. Отже, маємо, очевидно, | X \ = 1 для всіх X ? Г, і легко бачити, що Г задовольняє також інші умови теореми 7. Зауваження. Зокрема з теореми 8 одержуємо умови для слабої збіжності послідовності неперервних функцій, означених у прямолінійнім проміжку чи відповідно в квадраті. Теорема 9. Щоб послідовність функцій {#n}, що належить до (М), збігалась слабо до 0, необхідно і достатньо, щоб для кожної послідовності таких функцій {oa{t)), де і f\<x.i(t) \dt = 1, для і — 1, 2, ..., о було Km lim ¦Л. f OLi{t) Xn(t) dt = 0. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)