Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
ЗАУВАЖЕННЯ, ВСТУП. § 8. Пишемо lim as xn(t) = x{t), коли послідовність функцій {хп (*)} збігається асимптотично до функції x(t). § 5. З останньої теореми виходить, що коли неперервні функції хп (t) є обмежені в своїй сукупності і послідовність {хп (t)} є всюди збіжна, то для кож- - ь ної функції a (t) з обмеженою варіацією існує lim f xn(t) da (t) (див. F. Riesz, a 8ur le thiorhme de M. Egoroff et sur les operations fonctionnelles lineaires, Acta Szeged, I (1922), ст. 18—26). § 6. Подане Lebesgue'oM доведення є також у роботі Н. Hahn'a, Vber Folgen linearer Operationen, Monatshefte f. Math, u, Phys. 32 (1922), ст. 1—88. § 1. Віддаль елементів х і у в (8) можна також означити за допомогою формули (х, у) = inf [со + тЕ (\x(t) — у (t) \ > со)]і. Така метрика еквівалентна метриці тексту (див. 1, ст. 12). Аналогічно в (s) метрика (х, у) = inf j 1 max 1<к<п Р к к еквівалентна метриці, поданій в 2, ст. 12 (див. Fr6ch6t, Les espaces abstraits, Paris, 1928, ст. 82 і 92). В прикладах 1, 3, 5, 7, 8 і 10 можна також припустити, що розглядувані функції є означені в множині більш загальній. Так, наприклад, ь 5, ст. 13, можна розглядати функції, означені в довільнім, компактнім просторі (Z)), або тільки в повнім просторі, якщо в останньому випадку братимемо на увагу тільки обмежені неперервні або рівномірно неперервні функції. Багато прикладів просторів (D) цікавих з точки зору теорії операцій, подано в наведених роботах Hahn'a і Frechet; зважаючи на застосування, треба,, зокрема, звернути увагу на простори, розглядувані в роботах J. Schauder'a, Zur Theorie stetigerAbbildungen inFunktionalraumen та Ветегкгтдеп zu nieiner Arbeit . . • Math. Zeitschr. 26 (1927), ст. 47—65 і 417—431. Між іншими прикладами треба згадати такі: 11. Простір (Q) всіх майже періодичних функцій з метрикою (а?, у) = \х(і) — y{t)\ . 12. Простір (Н р)), де р > 1, утворений з усіх функцій, означених у колі ?2 + t% <; 1 і відповідно еквівалентних (тобто, майже всюди рівних) гармонічним функціям. Тут метрика дається формулою (», У) = 1 Про значення символів див ст, 7, виноска друга. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)