Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 193 13. Простір (В) функцій, означених в [0, 1] і еквівалентних відповідно інтегровним функціям у розумінні Riemann'a з метрикою (#, у) = = vrai max \x(t) — y{t) |. Для функції z{t), де 0<?<l, вимірної і майже 0*1 всюди обмеженої зверху vrai max z (t) позначає нижню межу таких чисел о>, що майже всюди z (t) <; со. Приклади 11 і 12 є в роботі G. Ascoli, Sugli spazi lineari metrici e le loro varietd lineari, Annali. di Matematica X (1932), ст. 33—81, а приклад 13 в роботі W. Orlicz, Beitrdge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen, Studia Mathematica I (1929), ст. 1-39 і 241-255. В. Орліч звернув увагу ще на один клас просторів, що обіймає простори ^), де р > 1, з якими вони мають багато спільних властивостей. Нехай М (и) буде така конвексна функція, означена для всіх дійсних значень аргумента, шо 1° М (—и)=М(и), 2° 1іт — и — М(и) = + оо, U Нехай N(u) функція, означена для всіх дійсних значень аргумента v за допомогою фюрмул: N (v) = max [uv — М (и)] для v > 0 і N (v) = N (— v) для v<0. °<u<00 Нехай тепер (О) — множина всіх функцій %(t), означених в [0, 1], для яких існує інтеграл і М [х (t)]dt; якщо цю множину зметризувмо за допо- о могою формули і і (х9 у) = sup f [x (t) — у (*)] со (t) dt, де fN [со (*)] Л < 1, о о то одержимо метричний, повний простір. р Зокрема, для М(и) = f 1 j • \и |р, де р> 1, маємо N(v) = І^^""1 і і (^ У) = (f\xit) — У (*) |р) р , так що в цьому випадку простір (О) є ідентичний з простором Замінюючи в означенні функції М(и) умову 4° на умову lim M(2u) < < + оо, не змінююча при цьому означення функції N(v), одержуємо також метричний повний простір (о), коли приймемо, що елементами цього про- ао опору в послідовності \?>тм таких дійсних чисел, що ряд ^Л^(5п) в здіж- ний, а віддаль визначено формулою (о?, у) = sup 2 (5п — Чп) *>п> де ж = {5п}> 2/ = {Чп} г 2 N(<»n) < 1. 13 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)