Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
194 Зауваження Простори (№) для р> І в окремими випадками просторів (о) (див. W. Orlicz, Vber eine gewisse Klasse von Rdumen vom Typus (B)9 Bull, de TAcad. Polonaise des Sc. et des Lettres, Fevrier 1932). Треба, нарешті, зауважити, що жодний з просторів 1—13, (О) і (о) не мав компактної сфери; навіть більше: в кожному з них компактні множини є негусті. § 8. Простори 1, 2, 5—10 і 12, а також простори Орліча (О) і (о) є сепа- рабельні. Навпаки, простори 3, 4, 11 і 13 не є сепарабельні, хоч вони так, як і попередні простори, мають потужність континуума. В кожному з цих останніх просторів множини потужності меншої, ніж континуум, в негусті. § д. К. Kuratowski зауважив, що тоді, коли вимірна ф) операція перетворює взаємно однозначно метричний сепарабельний простір Е в метричний простір ЕІ9 то обернена операція задовольняє умову В а і г е'а. Доведення виходить з теореми 7, ст. 17, і з такої теореми: щоб операція U(x), означена в метричнім просторі Е з протиобластю, що лежить в метричному просторі Егу задовольняла умову В a ire5 а, необхідно і достатньо, щоб для кожної замкненої множини ^іС-^і множина G таких елементів х ? Е9 що U(x)?Gi задовольняла умову В air е'а (див. К. Kuratowski, La propriete de Baire dans les espaces metriques, Fundamenta mathematicae XVI (1930), ст. 390—394). РОЗДІЛ I. § 1. Оскільки простори типу (F)9 що їх будемо розглядати в наступних розділах, будуть окремими випадками просторів типу (G), тсбто їх можна розглядати як групи відносно означеного там додавання, то завжди будемо називати додаванням фундаментальну операцію групи і вживати відповідні позначення. Всі метричні простори 1—13, (О) і (о) є, як легко бачити, просторами типу (G); за фундаментальну операцію групи приймаємо там звичайне додавання функцій, відповідно послідовностей. Всі ці простори є абел.еві, тобто означене в них додавання є комутативне (за формулою: я?.+ у = у + х). З інших прикладів просторів типу (G) наведемо ще такі: 14. Простір гомеоморфних перетворень метричного компактного простору Q в себе самого, коли віддаль двох гомеоморфізмів х та у означимо формулою: (а?, у) = sup (x (q), у (q)) + sup (a?-* (§), у-1 (q))9 а додавання означимо як звичайну композицію перетворень. 15. Простір ізометричних перетворень сфери (що міститься в метричному просторі) в себе саму, коли метрику і додавання означимо так, як і в попередньому прикладі. 16. Простір всіх функцій, означених у метричному просторі Q, якщо за їх значення будемо приймати комплексні числа з модулем 1 (можна прийняти, що вони-неперервні, або рівномірно неперервні), віддаль таких двох функцій означимо формулою (х9 у) = sup | x (q) — у (q) \, а під додаванням будемо розуміти звичайне множення функцій. 17. Простір взаємно однозначних перетворень множини натуральних чисел в себе саму з метрикою (Т ,л ^ ^ 1 1 а? (м) — у (п) | + 1 ж""1 (п) — у"1 (п) 1 — y (n) j + І ж-і (n) -- y-i (n) | (де через х (п) позначаємо відображення числа п за допомогою перетворення х), якщо додаванням буде композиція перетворень. Якщо дано довільний простір Е типу (G), а послідовність {хп} елементів множини Е є збіжна, то маємо очевидно Km (х — х 0) = О, (І) р->оо ч |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)