Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 195 але не знаємо, чи навпаки, з умови (І) випливає завжди збіжність цієї послідовності. Якщо в метричному просторі Е визначено додавання елементів так, що Е утворює групу відносно цього додавання і якщо навіть виконуються аксіоми ІІ! і ІІ2, то для того, щоб простір Е був повний, не досить, щоб з "умови (І) завжди випливала збіжність послідовності {#п} до елемента множини Е. Але тоді в просторі Е існує ще інша метрика, еквівалентна даній, за якою він являє собою простір типу (О). Це випливає з того, що в кожній метричній групі Е існує така метрика, еквівалентна даній, що (х, у) — (х + г, у + z) для кожного z ? Е (див. S. Kakutani, Vber die Metrisation der topo- logischen Gruppen, Proc. Imp. Acad. Тбкуб, 1, 1936; Uber tin Metrisation- problem, Pcos. Phys.-Math. Soc. Japan, 20; 1938). Якщо метрична група E має ту властивість, що з умов хп% уп ? Ел lim хп = 0 випливає lim (уп -f хп — nVco — уп) = ©? то в Е існує така метрика, еквівалентна даній, що (х9 у) = (х + z, у + z) = (z + х, z + у) для кожного z ? Е (див. D. vanDantzig, Zur topologischen Algebra, I. Komplettierungstheorie, Math. Ann., 107, 1933). Означення просторів типу (G)9 а також всі теореми тексту вміщено в роботі: S. В an a oh, Vber metrische Gruppen, Studia Mathematica III (1931), ст. 101—113; див. також F. Le j a, Sur la notion de groupe abstrait topolo- gique, Fundamenta Mathematicae IX (1927), ст. 37—44. § 2. Простори 1—10 (Вступ, § 7, ст. 11—14), а також простори 11—13, (О) і (о), означені тут (див. ст. 193) є зв'язні. § 8. Крім теореми 5, ст. 22, маємо ще теорему: Якгцо в зв'язному просторі Е {Un(x)^ в послідовністю лінійних функціоналів, то множина точок, де ця послідовність обмежена, в або першої категорії у або ідентична з множиною Е. § 4. З попереднього зауваження випливає, що, коли в зв'язному просторі Е {Upq(x)} e подвійною послідовністю таких лінійних функціоналів, що для послідовності \%р/ елементів з Е маємо формулу lim | Up, q (хр) | = + оо при довільному р9 то мнооюина всіх таких х ? Е, що Km | Up, q (х) | = + °° q+co для р = 1, 2, . . ., в другої категорії, а її доповнення першої категорії. Можна показати, що теореми 3—7 розділу III (ст. 32—35) є справедливі вже для просторів Е і Ег типу (<2), якщо тільки простір Е в сепарабельний (див. S. В ana ch, 1. с, Stud. Math. Ill, ст. 101—113). Теорема 5, ст. 34, в також безпосереднім висновком теореми 4, ст. 21, і зауваження, ст. 194. Умова, що Е є сепарабельний, є істотна. Було б цікаво знати, чи наведені теореми 3—7 справедливі також для просторів типу (О) не сепарабельних, але зв'язних. Треба зауважити, що для кожного простору Е типу (G) еквівалентні такі дві властивості: (а). Якщо дана лінійна операція y=U(x)y що перетворює Е взаємно однозначно в простір Ег типу ((?), то обернена, до неї операція х = U"1 (у) є лінійна. (р). Якщо в Е дано іншу метрику (х, ?/)*, за якою Е є також простором типу (G), і з lim хп = х0 завжди випливає lim (a?n, #0)* = 0, то також маємо навпаки: з lim (х , а?0)* = 0 випливає lim х = х0. Але не знаємо, чи наведені властивості виконуються, наприклад, для функціонального простору Е, ідентичного з простором прикладу 16, ст. 194, якщо там через Q позначено множину комплексних чисел з модулем 1. РОЗДІЛ II. § 1. Можна також розглядати векторіальні простори з множенням елементів не тільки на дійені числа, але також на комплексні числа, не міняючи аксіом 18* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)