Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
196 Зауваження 1—7. Ці простори в вихідною точкою теорії комплексних лінійних операцій і ще ширшого класу аналітичних операцій, які в узагальненням звичайних аналітичних функцій (див., наприклад, L. Fantappiu, І funzionali analitici, Cittu di Castello, (1930)- Ми розглянемо цю теорію в другому томі. Множина Я, яка лежить у векторіальному просторі Е9 називається базисом НатеГявД якщо кожний елемент х?Е в лінійною комбінацією елементів з Ну але жодний х?Н не є лінійною комбінацією інших елементів зЯ. Кожний векторіальний простір має базиси НатеГя, і вони завжди мають для даного простору однакову потужність. § 2» 3 наведеної уваги для кожного векторіального простору Е випливає існування адитивних однорідних і не рівних тотожно нулеві функціоналів, означених в Е. S. Kakutani виводить теорему 1, як висновок певної загальної теореми про нерухомі точки (Two fixedpoint theorems concerning bicompact convex sets, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 14, 1938). R. P. Agnew і A. P. Mors'e дали '(Extensions of linear functionals, with applications to limitsy integrals, measures and densities, Ann. of Math., 39, 1938, CT. 20—30) таке узагальнення теореми 1: якщо дано: 1° функціонал р (х)9 означений в векторіальному просторі Е9 такий, що р (х + у) <; р (х) +р (у), р (tx) = tp (x) для х9 у ? Е, ? > 0; 2° адитивний і однорідний функціонал / (х), означений в векторіальному просторі G(ZE9 такий, що f (я)<гР (%) для х ? G; 3° розв'язну групу (в рос. літ. „разрешимая") Ф взаємно однозначних перетворень простору Е в себе самого, при яких простір G переходить також в себе самого і р (9 (ж)) = р (х) для <р ? Ф, х?Е і / (<р (х)) = f (x) для у?Ф9 x?G, то існує такий адитивний і однорідний функціонал F(x), означений в просторі Е9 що F(x) < р (х) для х ? Е, F(x) = / (х) для х ? G, F (<р (х)) = F(x) для ер ? Ф, х ? Е. Звідси, як безпосередній висновок, одержуємо теорему: якщо дано: 1° такий функціонал р(х)9 означений у векторіальному просторі Е9 що р (х + У)<:Р (я) + Р (у)> Р (tx) = tp (х) для х, у ? Е9 2 > 0; 2° розв'язну групу Ф взаємно однозначних перетворень простору Е в себе, при яких в в нерухомою точкою і р (9 (я)) = р (#) для <? ? Ф, х ? Е, то існує такий адитивний і однорідний функціонал F(x), означений у просторі Е, що F(x) = р (х) для х?Е, F(<p (x)) =F(x) для <??Ф, х?Е. § 8. Доведена R. P. Agnew'HM, A. P. Morse'ом (див. цю сторінку, §2) теорема дозволяє, згідно з зауваженням цих авторів, поглибити висновки §3; так, у дункті 1 умову 3) можна замінити умовою: 3) /ж (rs + s0) ds = fx (s) ds для r Ф 0; в пункті 2 умову 3) можна замінити умовою: 3) {л (А) = [л (В), якщо множина А утворюється з множини В за допомогою перетворення 9 (8) — rs + + so> де гф09 so довільне; в пункті 3 до умов 1)—4) можна додати умову 5)Lim x(rs) = Lim x(s) дляг> 0; в пункті 4) Lim Ern = Lim ^n для г натуральних. З теореми пункта 4 виходить, що кожній підмножині 8 множини натуральних чисел N можна припорядкувати міру m(S) так, що 1) т (S)> 0; 2) т (S1 + S2) = m (St) + т ф2) для St і S2 без спільних елементів; 3) т (SJ = = т (S2), якщо множина Sx утворюється з 82 за допомогою перетворення ф(^) = s + s09 де s0 натуральне; 4) т (N) = 1. На підставі наведеного зауваження R. P. Agnew'a і A. P. Morse'а до умов 1)—4) можна додати ще умову 5) т (S±) =—т (S2)9 якщс множина Sx утворюється з множини S2 за допомогою перетворення 9 (s) = Т8> Де т натуральне. Для всякої міри, що задовольняє умови 1)—4), множина всіх тих чисел вигляду an + 6 для п = 1, 2 . . . із сталими а і Ь є міри —; множина всіх а простих чисел є міри 0. Міра, що задовольняє умови 1)—5), не завжди ідентична з густотою (якщо вона є означена), але завжди можна зробити так, щоб ця додаткова умова також виконувалася. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)