Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 197 РОЗДІЛ III. § 1. Відносно означення просторів типу (F) див. Fr6chet, Les espaces abstraits topologiquement affines, Acta Math. 47 (1926), ст. 25—52. Очевидно, простори 11—13, (О) і (о), означені на ст. 192-193, є також типу (F). С. Мазур зауважив, що в кожному просторі Е типу (F) множення чисел на елементи в неперервне, тобто виконується умова: якщо lim хп = х9 lim hn = h, де хп, x(ZE, a hn, h є числа, то Km hn%n = hx. (1) П-foo Це зауваження є висновком з такої теореми С. Мазура та В. О р л і ч а (Vber Folgen linearer Operationen, Studia Math., 4, 1933): якщо послідовність лінійних операцій {Un(x)}9 означених у просторі Е типу (F), значеннями яких G елементи простору Ел типу (F), є обмежена в кожній точці, то для кожного є> 0 існує 8> 0 з такою властивістю, що | Un(x) | <; є (п = 1, 2,...) для |#|<;S> х?Е; послідовність елементів {zn} простору типу (F) називається при цьому обмеженою, якщо lim tnzn = 0 для кожної послідовності чисел {in}, збіжної до 0. Простір типу (F) є лінійним, метричним і повним простором, в якому дії (додавання елементів, множення чисел на елементи) є* неперервні і виконується умова: (ж,у) = (« —у,0). (2) Невідомо, чи в кюжному лінійному, метричному і повному просторі Е, в якому дії є неперервні, існує метрика, еквівалентна даній, при якій Е являє собою простір типу (F). С. Мазур довів (О zbiorach і junkcjonalach wypuklych wpirestrzeniach injowych. Lwow (1936)), що в кожному просторі такого типу існує метрика, еквівалентна даній, що задовольняє умову (2). В наведеній вище роботі С. Мазур розглядає загальні лінійно топологічні простори, тобто лінійні і топологічні, в яких дії є неперервні, і подає таку їх класифікацію. Нехай Е — лінійний простір, аФ — клас потужності n# таких функціоналів р (х, у), означених для х, у?Е, що 1) р (#, у) = 0 для кожного р Є Ф тоді і тільки тоді, коли х = у; 2) р (х, у) = р (у, х); 3) р (х9 г) < р (х, у) + + р (у, z); 4с) р (х, у) = р (х— у, @); 5) якщо lim р (хп, х) = 0, lim hn = h, то П->ОО П~>00 lim p (hnXn, hx) = 0. Називаючи околом точки а ? Е множину всіх таких точок х ? Е, що рп (х, а) < є (п = 1, 2, . .., т), де рп ? Ф і є > 0, одержуємо певний лінійно-топологічний простір, який називаємо простором типу (F&*). Справедлива така теорема: Кожний лінійно-топологічний простір є ізоморфний певному просторові шипу (F&*). При цьому про два лінійно-топологічні простори кажемо, що вони ізоморфні, якщо існує ізоморфне перетворення, тобто одночасно адитивне і гомеоморфне один в одного. Якщо клас Ф, що задовольняє умови 1)—5), містить у собі тільки один функціонал, то він являє собою метрику в Е, а одержаний лінійний метричний простір називається типу (F*). Щоб цей простір був типу (F), необхідно і достатньо, очевидно, щоб він був повний. Справедлива ще така теорема: Щоб лінійно-топологічний простір Е був ізоморфний з певним простором типу {F*), необхідно і достатньо, щоб в Е виконувалася ї-ша аксіома зчисленності (див. J. V. Wehausen, Transformations in.linear topological spaces, Duke Math. Journ., 4, 1938). § 3. Теореми 3—9, ст. 32—36, залишаються справедливими для кожного метричного векторіального простору Е, що задовольняє умову (1) і таку умову: |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)