Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
198 Зауваження Якщо lim (х— х ) = О, то існує такий елемент х ? Е, що lim xn = х. (3) С. Мазур припускає, що цю останню умову можна замінити умовою, що простір Е g повний. Просте доведення теорем 3—5 для випадку просторів типу (В) є в роботі J. Schauder, Vber aie Umkehrung linearer stetiger Funktionaloperation, Studia Math. II (1930), ст. 1- -6. Тепер розглянемо в просторі Е типу (F) довільну лінійну і замкнену множину G(ZE. Ми одержимо, очевидно, розклад простору Е на частини без спільних елементів, якщо два елементи х і у з Е тоді і тільки тоді віднесемо до тієї самої частини, коли х — у ?О. Маємо таку теорему: Множина Е*9 так одержаних частин множини Е, являє собою простір типу (F), якщо тільки там означено віддаль і основні операції такими умовами (де через Х9 Y і Z позначаємо елементи з Е*): 1° (X, Y) - inf (х, у), де х ? X і у ? Y, 2° X + Y є тим із Z ? Е*9 що містить у собі елементи вигляду х + у9 де х ? X і у ? Y, 3° tX є тим із Y Є -Е7*, що містить у собі елементи tx, де х ? X. Доведепия цієї теореми подано в моїй книжці Teorja operacyi, том І, Warszawa, 1931, ст. 47—49 (польською мовою); див. також F. Hausdorff, Zut Theorie der linearcn metrischen Rdume, Journ. f. reine u. angew. Math, 167 (1932), ст. 294—311 (російський переклад Ф. Хаусдорф, „Теория множеств", ОНТИ, 1937, додаток, ст. 266-290). Спираючись на цю теорему, можна довести, що, коли дано лінійну операцію U, означену в просторі Е типу (F), протиобласть якої міститься в просторі Ег також типу (F), то тоді, коли Е в сєпарабельний, протиобласть операції U є вимірна (В). Однак, не знаємо, чи умова, що простір Е сепарабель- нлй, є істотна. § 4. Подані нижче роботи містять у собі застосування іншого методу теорії операцій до цієї проблеми і подібних питань: S. Mazurkiewicz, Sur les jonctions non derivables. Studia Math. Ill (1931), ст. 92-94. і сит i- - c v * 7 f[f{x + t) + }{x — t)—2f{x)]dt S. Mazurkiewicz, Sur V%ntegrale j -^ —— J—, там же, oJ * ст. 114-118. S. Banach, Vber die Bairesche Kategorie gewisser Funktionenmengen, там же, ст, 173—179. H. Auerbach u. S. Banach, Vber die Holdersche Bedingung, там же, ст. 180-184. S. Kaczmarz, Integrate vom Dinischen Typus, там же, ст. 189—199. § 5. Інші застосування теорії операцій до питань відносно диференціальних рівнянь дано в таких роботах: S. Banach, Sur certains ensembles de jonctions conduisant aux iquations partielles du second ordre9 Math. Zeitschr. 27 (1927), ст. 68—75. W. О r 1 і c z , Zur Theorie der Differentialgleichung -~- = / (xf y)f Bull, de dx L'iVcad. Polon. de Sc. et des Lett. Fevrier, 1932. § 7. Коли дано лінійну множину (?CW, то для кожного елемента х0 ?(s) — G існує такий лінійний функціонал / (х), означений в (s)> що / (х) = 0 для кожного х ? G і / (х0) = 1. " З теореми 12, <?г. 42, виходить, що, коли протиобласть лінійної операції, означеної в (s), міститься в (s), то вона є замкненою множиною. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)