Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 199 РОЗДІЛ IV. § 1. Векторіальні нормовані простори незалежно від мене розглядав майже одночасно N. Wiener у своїй роботі Limit in terms of continuous trans- formations, Bull, de la Soc. math, de France 150 (1922), ст. 124—134. Простори 11—13, (О) і (о), означені на ст. 192—193, є типу (В). Навпаки, простір (s) прикладу (2), ст. 12 (див. також ст. 42—44), не в типу (В), а навіть, як довів С. Мазур, він не в гомеоморфний з жодним простором типу (В). Лінійно-топологічннй простір Е називається локально-конвекенич, коли кожна відкрита множина ІС^ містить у собі відкриту конвексну множину. С. Мазур у наведеній на ст. 197 роботі дав таку класифікацію лїнійно-топо- логічних локально-конвексних просторів. Нехай Е — лінійний простір, а Ф — клас потужності к# функціоналів ф (х), означених в Е9 з такою властивістю, що: 1) ф (х) — 0 для 9 Є Ф, тоді і тільки тоді, коли х = 0; 2) ф(^ + 2/)<9(#) + 9(2/); 3) 9 (tx) = 111 9 (#)• Називаючи околом точки а ? Е множину всіх таких х ? Е, що 9П (х — а) < є (п = *> 2> • • м т), де ?п, Є Ф і є > 0, одержуємо певний локально-конвексний лінійно-топологічний простір, який називаємо простором типу (В#). Справедлива така теорема: Кожний локально-конвексний лінійно-топологічний простір в ізоморфний з певним простором типу (В^). Цю теорему незалежно винайшов J. Neumann (On complete topologicai spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 37, 1935). А. Колмогоров довір (Zur NormierbarJceit eines allgemeinen topologi- schen linearen jRaumes, Studia Math., 6, 1934), що для, того, щоб лінійно- топологічний* простір був ізоморфний з лінійним нормованим простором, необхідно і достатньо, щоб в Е існувала відкрита, конвексиа і обмежена множина; при цьому множину А, що міститься в лінійно-топологічному просторі, називаємо обмеженою, якщо для кожного околу V точки 0 існує таке число є> 0, що множина всіх точок ех, де х?А, міститься в V. В просторі Е типу (В%) існує така метрика, що означена нею топологія є еквівалентна даній і виконується умова (х, у) = (х—у, 0); її одержуємо, покладаючи (х, у) = ^ — 1 ^ ф (x_v)f де через 9П позначаємо функцю- 1 п нали класу Ф; якщо ця метрика є повна, то Е називаємо простором типу Во. Простори типу (?q), зокрема простори типу Во, були предметом численних досліджень С. Мазура та В. Ор ліча. Вони довели, що різні теореми про лінійні нормовані простори, зокрема про простори типу (В), є також справедливі для просторів типу (Щ), відповідно (Во). Ці автори довели справедливість таких теорем: Щоб простір Е типу (F) був ізоморфний з простором типу (Во), необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова: якщо хп ? Е, 00 00 Km хп = 0, а ряд чисел ^?\ tn\ є збіжний, то ряд J? tnxn в збіжний; для того, щоб простір Е типу (F) був ізоморфний з простором типу (В), необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова: існує таке г > 0, що коли оо оо хп?Е} | хп | < г, а ряд чисел ^| tn | e збіжний, то ряд J^n#n в збіжний. Простір (s) є простором типу (23О); простір (S) не є ізоморфний з простором типу (Во). Прикладами простору (Бо), які не є ізоморфні з просторами типу (В), є: 1) Простір (О*) всіх неперервних функцій в (— оо, + оо); 9П (х) = max [ х (t) |; t |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)