Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
200 Зауваження 2) Простір (С(о° 0)) всіх функцій, що мають похідні кожного порядку в [0, 1]; ^гЦ 3) Простір (L(p 0)), де р> 1, всіх таких функцій в [0, 1], що інтеграл і f\x(t)\qdt є скінченний для всякого q< р; f\x(t) |9»dt Де qn<p,limqn = p; і 4) Простір (Z(p+0)), де р > 1, всіх таких послідовностей {?п}, що ряд ос %п \q є збіжний для кожного q > р; 1 n п П->00 § 2 і 3* Для просторів Е типу (F) можна довести еквівалентність двох таких властивостей: (а). Якщо дано лінійний функціонал /(#), означений у лінійній множині G(Z.E, то існує такий лінійний функціонал F (х)> означений в Е, що F (х) = f(x) ДЛЯ КОЖНОГО X ? О. ((3). При таких самих умовах, якщо множина О є крім цього замкнена, то для кожного хо^Е — О існує такий лінійний функціонал F (х), означений в Е9 що F (х0) Ф 0, але ж F (х) — 0 для довільного х = (?• Не всі простори типу (F) мають ці властивості. Так, наприклад, всі лінійні функціонали, означені в просторі (8), тотожно рівні нулеві. С. Мазур та В. Ор ліч зауважили, що властивості (а) і (р) мають всі простори типу (Bq)- Узагальненням теореми 3 є теорема С. Мазура (Vber convexe Mengen in linearen normierten Raumen, Studia Math., 4, 1933, для випадку сепарабель- них просторів цей результат одержав G. Accoli, Sugli spazi lineari metrici e la loro vorietd lineari, Ann. di Math., 10, 1932) про існування опорної площини до конвексного тіла, що проходить через дану точку його межі в лінійних нормованих просторах. Коли Е є лінійно-топологічний простір, X (х) — лінійний функціонал *Ф 0 в Е, а а число, то множина Н всіх таких точок х ? Е, що X (х) — а = 0, називається площиною; кажемо, що множина A(ZE лежить з однієї сторони площини Н, коли функція X (х) — а не змінює знака в множині А. Множину W(ZE називаємо понвексним тілом, якщо вона є кон- вексна, замкнена і містить у собі внутрішні точки; кажемо, що площина Н є опорною площиною до конвексного тіла W, якщо Н містить у собі точки з W, але W лежить при цьому по одній стороні Н. Справедлива така теорема: Коли W є понвепсне тіло, а а точка його межі, то через а проходить принаймні одна опорна площина Н до W. При цьому за Е можна взяти довільний лінійний нормований простір; у випадку, коли простір Е є сепарабельний, наведену теорему доповнює ще такий висновок: множина всіх межових точоп конвексного тіла Н, в яких нема площини, дотичної до Н} тобто через які проходять принаймні дві опорні площини до |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)