Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 201 Н, в множиною першої категорії відносно межі Н. На основі зауваження С. М а з у р а та В- 0 р л і ч &, ці висновки є справедливі в усіх просторах типу (Бо). Згадаймо ще тут про таку теорему Айдельгайта (Zur Theorie der коп- vexenMengen in linear en normierten Rdumen, Studia Math., 6, 1936; див. також S. Kakutani, Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit iiber konvexe Mengen, Proc. Imp. Acad. Tdkyo, 13, 1937): якщо конвексні тіла Wl9 W2 не мають спільним внутрішніх точок, то існує площина Н, що розділяє тіла Wx і W2; при цьому кажемо, що площина Н розділяє два конвексні тіла, якщо в точках одного тіла постійно має місце нерівність X (х) — а <; 0, а в точках другого тіла постійно має місце X (х) — а > 0. Коли Е, Ег є лінійні нормовані простори, a U (х) лінійна операція, означена в лінійній множині GC1E, значеннями якої є елементи простору Е^ то взагалі операції U (х) не можна поширити до Е, тобто взагалі не існує лінійна операція V (х), означена в Е, значеннями якої є елементи з Ег, і така, що V {х) = U (х) для х ? О. Таке поширення є завжди можливе, коли простір Ег має скінченне число вимірів, однак навіть у цьому випадку взагалі не можна задовольнити умову | V \Е = | U \G (див. S. Banach und S. Mazur, Zur Theorie der linear en Dimension, Studia Math., 4, 1933). Останнім часом F. Kiesz, Л. В. Канторович, Freudenthal, M. Г. Крейн та ін. розвинули теорію так званих лінійних напівупорядкованих просторів. Зокрема Л. В. Канторович довів, що багато теорем, які відносяться до лінійних функціоналів, означених у лінійних нормованих просторах, між іншим теорема про поширення, є справедливі у випадку лінійних операцій, означених у лінійних нормованих просторах, значеннями яких є елементи лінійного напівупорядкованого регулярного простору. Множину Е називаємо за Л. В. Канторовичем лінійним напівупорядко- ваним простором, якщо вона є лінійним простором і в ній означено співвідношення порядку х > у так, що виконуються умови (х, у, z, w в елементи з Е9 t число): 1) якщо х> у, то хф у; 2) якщо х> у, z> w, то х + z> у + w; 3) для кожних двох елементів ху у існує такий елемент z, що z > х, *> У> 4) якщо х> у, t> 0, то tx> ty; 5) для кожної множини А^1_Е існує верхня грань sup A — притому поняття верхньої грані множини ІС-^ і аналогічно нижньої грані infА означуємо, як у випадку множин дійсних чисел. Кажемо, що послідовність елементів {хп \ з Е має границю х, де х ? Е, або = ± оо, Km хп = х, якщо inf (sup (xn, жп+1, ...)) = SUP (inf (xw xn+v •••)) = x- Лінійний напівупорядкований простір Е називається регулярним, коли виконується умова: якщо An(ZE є такі множини, що існує lim supJLn = ж, то П->оо існують такі скінченні множини Bn(ZAn9 що lim sup Bn = х. Приклади лінійних напівупорядкованих регулярних просторів такі: 1. Простір всіх функцій, вимірних в [0, 1], причому х>у означає, що & (t) > У (0 майже всюди і х (t)> у (t) в множині додатної міри; lim хп = х тоді і тільки тоді, коли lim xn (t) — x (t) майже всюди. 2. Простір всіх числових послідовностей, причому х> у означає, що > Ук завжди, а Ік > гік для певного к: Km xn= x тоді і тільки тоді, коли завжди Km %пк = Е,к. 3. Простір всіх таких функцій в [0, 1], що інтеграл [\ x(t) \p dt є скінчен- о ним числом, де р > 1, причому співвідношення порядку означене, як у при- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)