Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
202 Зауваження кладі 1; lim хп — х тоді і тільки тоді, коли Km xn(t) = x(t) майже всюди і \хп(і) \<^.у (t) при всіх п = 1, 2, ... і при певнім у G &р\ 4. Простір усіх таких числових послідовностей, що ряд 2 \^к\р G збіак- ний, де р>1, причому співвідношення порядку означене як у прикладів; lim хп = х тоді і тільки тоді, коли постійно lim %пк = %к і | ^ | <; ?)& при п — 19 2, ... і при певнім 2/ = Цими увагами обмежуємося і відсилаємо читача до роботи Л. В. Капто- ровича: Lineare halbgeordnete Всійте, Матем. сборник, 2, 1937 і до поданої там літератури. § 4. Умови 1—3, ст. 62, можна замінити такими двома умовами: 1) ап/ = ° Для кожного /> п, де п — 1, 2, •.., ІІ = І/І Для п=1» 2> ••• Загальний вигляд лінійних функціоналів у просторах (О) і (о) Орліча (див. ст. 192—193) подано в його цитованій роботі. Так, наприклад, кожний лінійний функціонал / (х), означений у просторі (О), має вигляд = J x(t) a о де <х(г) є така функція, що для певного к, яке лежить між 0 і 1, існує fN (fox (t)) dU G T. H. Hildebrandt та I. I. Schoenberg дали просте доведення теореми про вигляд лінійного функціонала в просторі (0), користуючись поліномами Бернштейна (On linear functional operations and the moment problem for a finite interval in one or several dimensions. Ann. of Math., 34, 1933). З багатьох висновків, що стосуються до вигляду лінійного функціонала в різних просторах, важливих у застосуваннях, подамо тут ще такі висновки Г. Фіхтенгольца і JL Канторовича (Sur les operations lineaires dans Vespace des fonctions borne? es, Studia Math., 5, 1934): загальний вигляд лінійного функціонала в просторі (М) ef(x) = Jx(t) Ф (dl), де Ф (Z) є адитивна і обмежена функція, означена в класі всіх вимірних підмножин проміжка 1= [0, 1], і така, що Ф (Z) = 0, для множин Z міри нуль, а інтеграл беремо в розумінні Radon'a; звідси виходить, що множина всіх лінійних функціоналів у просторі (М) є потужності 22 No. В просторі типу (В), який утворює множина всіх функцій обмежених в і, причому покладаємо ] х \ = sup І х (t) І, загальний вигляд лінійного функціонала той самий, при- 0<*<1 чому функція Ф (Z) означена в класі всіх підмножин І; множина всіх ліній- них функціоналів у цьому просторі має потужність 2 §6. Див. F. Riesz, Sur Vapproximation des fonctions continues et de fonctions sommables, Bull, of the Calcutta Math., Soc. XX (1928/29), ст. 55—58. § 8. Див. книжку F. Riesz, Les systhmes $ equations lineaires d une infinite d'inconnues, Paris, 1913. Різні висновки, що стосуються до існування розв'язків систем лінійних рівнянь 8 нескінченним числом невідомих,' подано в роботах Айдельгайта (Vber lineare Oleichungen in separablen Rdumen, Studia Math., 6, 1936 і 8, 1939; Zur Theorie der Systeme linearer Gleichungen, Studia Math., 6, 1936 і 7, |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)