Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 203 1938). Тут треба згадати ще про цікаві дослідження в цьому напрямі G. Kothe і О. Toeplitz (G. Kothe und Toeplitz, Lineare Rdume mit unendlich vielen Koordinaien und Ringen unendlicher Matrizen, Journ. f. r. u. a. Math., 171, 1934; G. Kothe, Losbarkeitsbedingungen fur Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten9 Journ. f, r. u. a. Math., 178, 1938). РОЗДІЛ V. § 1 і 2. З теореми 3, ст. 68, виходить, що множина Q точок збіжності послідовності лінійних операцій {^(я)}, обмежених за нормами в своїй сукупності, є завжди замкнена. В загальному випадку Q є множиною Fo6. Про це треба ще зауважити, що, як довели С. Мазур і Л. їїї т є р и б а х (Ober Konvergenzmengen vonFolgen linearer Орегаііопещ Studia Math., 4, 1933), якщо {&п(^)} 8 послідовність лінійних фушціопалів і множина Q її точок збіжності не є замкйена, то в Q існув така послідовність точок {xt} і така точка хо?Е — Q, що lim xt = х0 і подвійна послідовність {&п(^)} обмежена, З цього виходить, як висновок, що при цих умовах Q не є множиною FG. Ці висновки можна поширити на загальніший випадок, де |&n(#)} g послідовність лінійних операцій, якщо тільки їх протиобласті містяться в просторі Ег типу (В), що має таку властивість: (у) для кожної послідовності {уп}, де уп?Ег і | уп | = 1 для п = 1, 2,..., 00 існує така послідовність чисел {tn}y що ряд ^ tnyn є розбіжний і послідовнії ність чисел їх частинних сум є обмежена. Властивість (у) має, наприклад, простір (с) і всі простори типу (В) з скінченним числом вимірів. Висновок, про який ми згадали, можна уточнити, виходячи з зауваження спільного С. Мазура і мого (Еіпе Ветегкипд пЬег die Konvergenzmengen von Folgen linearer Operationen, Studia Math., 4, 1933) в тому розумінні, що в розглядуваних умовах множина Q не 8 G6o. Як застосування, з цього випливає теорема, що кожний простір Е типу (В) з нескінченним числом вимірів містить у собі лінійну множину, яка є FaS, але не є Gda. Крім цього С. Мазур і Л. ЇЇІтернбах довели (Vber die Borelischen Typen von linearen Mengen, Studia Math., 4, 1933), що кожний простір такого типу містить у собі лінійну множину, яка не є множиною Fa, але є спільною частиною множин Fa і G6; однак кожна лінійна множина G6 є там замкнена. Можна довести, що в кожному просторі типу (В) з нескінчепним числом вимірів, існують лінійні множини наперед даного класу класифікації ВогеГя. НевІДОМО, ЧИ ІСНУЮТЬ ПрОСТОрИ ТИПу (F), ЩО хМІСТЯТЬ у СОбІ ЛІНІЙНІ МНОЖИНИ (Л), які не є множинами ВогеГя; але в кожному просторі типу (В) з нескінченним числом вимірів існують лінійні, проективні множини, наприклад, такі, що є доповненнями множин (А), які не є множинами Бореля (S.Banach et К. Kuratowski, Sur la structure des ensembles lineaircs, Studia Math., 4, 1933). В кожному просторі типу (F) з нескінченним числом вимірів існують лінійні множини, які не задовольняють умови Ваіге'а. Наведені висновки й питання зв'язані з певними висновками й проблемами, що стосуються до адитивних операцій. Якщо Е і Ег — простори типу (F), то кожна адитивна і вимірна {В) операція U(x), означена в ліпійній замкненій множині (?С^ значеннями якої є елементи з Е19 на підставі теореми 4, ст. 21, в неперервною; але якщо множина G не в замкнена, то операція U(x) взагалі не в неперервна. Так, наприклад, можна довести, що для кожного простору |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)