Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
204 Зауваження В типу (В) з нескінченним числом вимірів існує адитивний функціонал, означений в певній лінійній множині G(ZE, який належить до наперед даного класу класифікації Ваіге'а. Узагальнення теорем § 2 і 3 у випадку простору типу (F) вміщене в роботі С. Мазура та В. О р л і ч а, наведеній на ст. 197. До адитивних перервних операцій приходимо за допомогою обернення лінійних операцій. Коли Е і Ег є типу (F), то, якщо лінійна операція y=U(%Y перетворює взаємно однозначно Е в замкнену множину G2 C Elf обернена операція х = Z7"1 (у) є на підставі теореми 5, ст. 34, неперервна. Отже, якщо множина Ог не є замкнена, то операція и~~г може не бути неперервна, але, якщо простір Е — сепарабельний, то вона є завжди вимірна (В). Так, наприклад, у випадку, де Е = Ег = (ІЛ), ця операця є 1-го класу Ваіге'а. § 3. Лему і теорему 8 знаходимо в роботі P. Riesz'a, наведеній на ст. 129. Легко зауважити, що теорема, обернена до теореми 8, є справедлива. Крім цього, теорему 8 можна узагальнити так: кожний простір типу (F), що містить у собі сферуу яка в в ньому компактна, має тільки скінченне число вимірів. Легко бачити, що обернена теорема також справедлива (див. М- Eidelheit und S. Mazur, Eine Bemerkung iiber die Raume vom Typus (F), Studia Math., 7, 1938). § 4. Теорему для (lSr\ подану на ст. 72, дав у випадку г = 1 Н. L є besgue (див. Annales de Toulouse, 1909). § 6. Всі ці приклади добре відомі. § 7. Метод А, що відповідав таблиці (-4), називається нормальним, якщо тільки аік = 0 для і < к і аік Ф 0 для і = к. Такими для к > 0 є методи С. Cesaro, а також методи Ек Еu 1 єг'а. Ці останні є за С. Мазуром (1. с, Studia Math., II, ст. 40—50) досконалими методами. Ряд висновків, у зв'язку з теоремами цього параграфа, одержали С. М а зур і В. Орліч (Sur les methodes lineaires de sommation, C. R. Acad. Se. Paris, 196, 1933); вони подали між іншим таке узагальнення теореми 11: Якщо кожна обмежена послідовність, сумовна за перманентним методом Л, є су мовна за перманентним методом В, то кожна обмежена послідовність, сумовна за перманентним методом А, є сумовна за перманентним методом В до того самого числа. При даному методі А позиачуємо через Л* множину всіх послідовностей, сумовних за методом А; про послідовність (хо)} сумовну за методом А, кажемо, що вона має властивість (Р), якщо для кожного є > 0 і кожного натурального р існує така збіжна послідовність ж, що: \At (х0 — х) |< є (і = 1, 2, .. .), к=і Справедливі такі теореми: Нехай А є перманентний метод х0 Є А*; якщо х0 має властивість (Р), то для кожного перманентного методу В, не слабшого від А, В (%0) = А (х0); якщо х0 не має властивості (Р), то для кожного числа а можна дібрати такий перманентний метод В, що В* = А* і В (х0) = а. Якщо перманентний метод А має скінченні рядки, тобто аіь = 0 для k > ki9 то для того, щоб послідовність х0, сумовна за методом А, мала властивість (Р), необхідно і достатньо, щоб для кожного абсолютно збіж- 00 ного ряду У!&і і кожного натурального р з умов со \J ^Л/ JJ) JJ ^^ X, • • •} |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)