Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 205 оо випливала рівність Jg&i (aip Q + afp+1?p+1 + ...) = 0. Теорема про загальний вигляд лінійних функціоналів, означених у векторіальному сепар&бельному просторі E(Z(m) (див. ст. 62), доводить, що лінійний функціонал / (х) збігається там з узагальненою границею, одержаною за певним методом А, тобто що існує така таблиця (А), що кожна послідовність х Є Е є сумовна до / (х) за методом, що відповідає цій таблиці; отже, якщо Е не є сепарабельний, то ця теорема може бути несправедлива, навіть більше, тоді може існувати, як зауважив С. Мазур, послідовність {/п(#)} лінійних функціоналів, означених в Е, слабо збіжна до лінійного функціонала / (х) і така, що fn(x) для кожного п = 1, 2, ... ідентична з узагальненою границею, одержаною відповідним методом у той час, коли / (х) не має цієї властивості. РОЗДІЛ VI. § 1. Поняття цілком неперервної операції дали D. Hilbert і F. Riesz, які також перші показали важливість цього поняття. Згідно в зауваженням С. Мазура маємо таку теорему: Якщо в послідовність лінійніх і цілком неперервних операцій, означених у просторі Е типу (В) і таких, що lim Un (x) = х для кожного х ? Е, то нвоб- хідною і достатньою умовою для того, щоб множина О(^Е була компактна, в рівномірність збіжності послідовності {Un(x)} в О. Простір Е, який має таку послідовність операцій, є на підставі теореми 1, ст. 83, сепарабельний. Питання, чи кожний сепарабельний простір Е типу (В) має подібну послідовність операцій, досі не розв'язане. Щодо критерія компактності для G(ZE, див. також у А. Колмогорова {Uber Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel, Gottinger Nachrichten, 1931, ст. 60—63). § 2* Всі ці приклади є відомі. § 3. Поняття спряженої операції було введене в усій загальності перший раз у моїй роботі Sur les fonctionelles Ііпеаіге8 II, Studia Mathematica I (1929), ст. 223—239, яка містіть також теорему 3, ст. 87. Доведення теореми 4, ст. 87, знаходимо також у роботі Ю. Шаудера, Uber lineare vollstetige Funktionaloperationen, Studia Mathematica II (1930), ст. 183—196). РОЗДІЛ VII. § 1. В. Орліч зауважив, що для слабо повних просторів Е теорема 2, ст. 93, може бути більш загострена, а саме тоді ряд (2) є збіжний для кожного х ? Е. Біортогональна система {#/}> {/j} називається повною, якщо послідовності {хі} ^ {А*} в тотальні (див. означення на ст. 36 і 49). Можна довести, що повні біортогональні системи існують у кожному сепарабельному просторі типу (Б). Біортогональна система {#Л> {/Л називається нормованою, якщо маємо: 1^1 = 1/^1 = 1 для г=1, 2, ... Згідно з зауваженням Г. Ау ер б ах а, біортогональні, нормовані і повні системи існують у кожному просторі типу (В) з скінченним числом вимірів. Тимчасом невідомо, чи завжди буде так у кожному сепарабельному просторі типу (В), і навіть, чи завжди існує там така біортогональна повна система, що | #f | = 1 для і = 1, 2,... і lim | /,-1 < оо. § 2. На підставі попереднього зауваження можна в теоремі 5, ст. 94, відкинути умову, щоб послідовності {^.(г)} і {*/і(0} були повні. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)