Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
206 Зауваження § 3. Теорема, на основі якої система Нааг'а являв собою базис в (()), де р > 1, вміщена в роботі Ю. Шаудера (Егпе Eigenschaft desHaar- schen Orthogonalsy stems, Math. Zeitschr., 28, 1928), ст. 317—320. Можна довести, що, коли в просторі Е типу (В) дано таку послідовність елементів \хп\> Щ° Для кожного х ? Е існує точно одна така послідовність і к | чисел {tn)9 що послідовність { 2j tnxni слабо збігається до ж, то послідовність |#п| являє собою в Е базис. Простір (<7(р)) (див. приклад 7, ст. 13) має базис для р = 19 2,. ., але невідомо, чи він існує в прикладі 10, ст. 14. Навіть невідомо, чи існує базис, наприклад, у просторі всіх дійсних функцій х (s9 t)9 означених у квадраті 0<<«-<1, 0-<і<;1 і які мають неперервні частинні похідні 1-го порядку, якщо елементарні операції в цьому просторі означені як звичайно, а норма дана формулою |х\\ = max | х (s> t) + | max | x's (s, t)\ + max \x[ (s, t) |. 0l 0<s<l 0<5<l Q<t<i Q<t<l Зважаючи на теорему, дану в розд. XI, § 8, ст. 157, існування базиса в кожному сепарабельному просторі і? типу {В) є еквівалентне існуванню базиса в кожній лінійній, замкненій множині Е1?(С). Отже, невідомий жодний приклад сепарабельного простору типу (В), який мав би нескінченне число вимірів, неізоморфний з (і(2)) і такий, що кожна з його замкнених лінійних нідмножин містить у собі базис. Зауважимо однак, що кожний простір типу (В) з нескінченним числом вимірів містить у собі лінійну замкнену множину з нескінченним числом вимірів, яка має базис. Поняття базиса можна, очевидно, ввести загальніше вже для просторів типу (F). В просторі (s) базисом є, наприклад, послідовність елехментів |j де xt = 15„/ і ?п = і 0 і ^ п- Простір (S) не містить у собі жодного базиса; це є висновком того, що там немає жодного лінійного функціонала, який не дорівнює тотожно нулеві. РОЗДІЛ VIII. § 8. Нехай хо?Е, покладемо ср(/) = !/(#о)і Для /Є J?; клас Ф так одержаних функціоналів визначає у просторі Е певну топологію, при якій він являв собою лінійно-топологічний, локально-конвексний простір. Справедлива теорема: щоб лінійна множина Г(^Е була регулярно замкнена, необхідно і достатньо у щоб вона була замкнена при вище наведеній топології. Це зауваження належить С. Мазуру (див. також S. Kakutani, Weak topology and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Тбкуб, 15, 1939). За C. Ма-зуром і В. Орлічем ця тоерема, а такозиз і лема 3 є справедливі у випадку простору типу (Бо). §4іб. С. Мазур зауважив, що теореми 2—4, ст. 107—108, є справедливі також у просторах Е ижщ (F), якщо умову (20) в теоремах 2 і 8 замінимо умовою, щоб послідовність функціоналів |/п(#)} була обмежена в певній сфері. За С. Мазуром і В. Орлічем теорема 5 справедлива у випадку простору типу (Во). В. Шмульян довів теорему (О регулярно замкнутих и слабокомпактньїх множествах в пространствах типа (Б), ДАН СССР (1938), т. XVIII, ст. 403—405): щоб лінійна сепарабельна множина Г?Е була ре~ |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)