Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 207 гулярно замкнена, необхідно і достатньо, щоб одинична сфера в Г була слабо компактна (в розумінні слабої збіжності функціоналів)1. § 0. Умову слабої збіжності функціоналів для просторів (с) подав Н. Hahn, а для просторів (Z(p)), де р > 1, — F. В, і є s z. Умови (45) і (46), дані для слабої збіжності лінійних функціоналів, означених у просторі (с) (див. ст. 113), набирають у випадку простору ?р0) вигляду: 1° послідовність { 2'\аіп\\ є обмежена, 2° lim <хіп — <*і для і = 1, 2, ... РОЗДІЛ IX. § !• Поняття слабої збіжності елементів розглядали перший раз у просторі (?(•>) D. Hilbert, а в просторі (і(р)), де р> 1, ~ F. Biesz. С. Мазур і В. Орліч зауважили, що для того, щоб простір типу (F) був ізоморфний з простором типу (Во)9 необхідно і достатньо, щоб кожна слабо збіжна до певного елемента послідовність елементів була обмежена. Множина &9 що лежить у просторі Е типу (JB), називається слабо компактною, якщо кожна послідовність елементів з 6г містить у собі слабо збіжну послідовність. В просторах (Ь(р)) і (^р)), де р> 1, кожна обмежена множина в слабо компактна (див. ст. 112—113)- Так само буде в (с) і (с0) в той час, коли простори (С), (L), (І) і (т) не мають цієї властивості. Теорему 2 загострив С. Мазур, встановивши таке (див. наведену роботу, от. 23): Якщо послідовність { хп } є слабо збіжна до х0, то для кооюного є > 0 існують такі числа сп (п = 1, 2, ..., т), що т оо сп>°> 2 сп = 1>\ 2 спхп — хо І < є. п=1 п=1 У випадку простору (?(р)), (ї(р)), де р> 1, кожна послідовність |#п}, слабо збіжна до xQj містить у собі навіть таку частинну послідовність {#?п}> що 1 т lira — У #ь = .т0 (S. Banach et S. S а k s , ^r Za convergence forte dans champs Lp, Studia Math., 2, 1930); це зрештою є справедливе у випадку кожного рівномірно конвексного простору типу (Б) (S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces, Tdhoku Math. Journ., 45, 1938); за И. А. Кларксоном (Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 40, 1936) простір Е типу (В) називається рівномірно конвексним, якщо виконується умова: для кожного є > 0 існує таке S > 0, що коли х, у ?Е, М=М = 1>|я — 2/|>є, то— |ж + 2/|<1 — 8. У випадку простору (С) вищенаведену теорему С. Мазура довели Д. Ц. Гілєспі і В. А. Гурвіц (On sequences of continuous funktions having continuus limits, Trans. Amer. Math. Soc, 32, 1930) і незалежно 3. Зальцвассер (Sur une propriete du champ des fonctions continues, Studia Math., 2, 1930). Треба ще зауважити, що ця теорема еквівалентна теоремі, що кожна конвексна замкнена множина в слабо замкнена; множина W називається слабо замкненою, якщо з того, що послідовність елементів тп ? W в слабо збіжна до х0, виходить, що xo?W. За М. Крейном 1 Означення слабої компактності в розумінні слабої збіжності функціоналів див. ст. 112. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)