Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
2G8 Зауваження (О некоторих вопросах геометрии випуклих ансамблей, принад лежагцих линейному нормированному и полному пространствуу ДАН СССР, 1937, XIV, ст. 5—8) справедлива, крім цього, теорема: Якщо множина ZQ^E в сепарабель- на, слабо компактна і слабо замкнена, то найменша конвексна, замкнена множина W, що містить у собі множину Z, має ті самі властивості. § 2. Умови слабої збіжності елементів дали: для простору (с) Н. Hahn, а для просторів (О) і (Z(p)), де р > 1, — F. Riesz , Теорему, ст. 119, про еквівалентність у просторі (І) слабої збіжності із збіжністю за нормою знаходимо в роботі J. Schur'a (Vber lineare Transjormationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journ. f. reine u. angew. Math., 151 (1921), ст. 79—111). Треба зауважити, що слаба збіжність послідовності лінійних функціоналів, означених у просторі Е типу (В), не є достатньою умовою для слабої збіжності тієї самої послідовності, якщо її розглядати як послідовність елементів простору ~Е9 тобто в просторі всіх лінійних функціоналів, означених в Е (який є також типу (В)). Так, наприклад, в (І) поняття слабої збіжності міняється залежно від того, чи розглядаємо елементи як представників лінійних функціоналів, чи ні. § З, В. Шмульян довів (О некоторьіх геометрических свойствах сферьі в пространстве типа (Б), ДАН СССР, 1939, т. XXIV, ст. 647-651), що в вц- падку кожного рівномірно-конвексного простору типу (В) справедлива така теорема: Якщо послідовність {хп} слабо збігається до х0 і lim l^ni^l^o!» то lim хп = х0. П->оо За Й. А. Клярксоном (див. наведену роботу на ст. 207) простори (?(р)) і (Z(p)), де р > 1, є рівномірно конвексні. § 4. Простір Е типу (В) називається слабо повним, якщо кожна слабо збіжна послідовність {хп\ елементів з Е (тобто така, що lim f(xn) існує для 1 J п->оо кожного лінійного функціонала f(x), означеного в Е) слабо збігається до елемента простору Е. Простір (с0) і тим самим також простори (с) і (т) не є слабо повні. Властивість слабої повноти для простору (L) довів Г. Штейн- гау з (див. Additive und stetigeFunhtionaloperdtionen, Math. Zeitschr., 5 (1918), ст. 186—221), а для просторів (Lip)) і (Z(p)), де р> 1, — F. R iesz (див. Untersuchungen uber Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann., 69 (1910), ст. 449—497). Як зауважив В. О р л і ч (1. с, Bull, de l'Acad. Polon. des Sc. 1 et Let., Fevrier 1932), простір (О) в слабо повний, якщо lim дгтгт N (%и) < + °°; те саме справедливе і для простору (о). Можна розглядати таке загальніше означення слабої повноти. Нехай А така напівупорядкована множина, що для кожних двох її елементів ага2 ? А існує елемент %? А, що іде в розумінні порядку за ними; нехай х (а) — функція, задана на множині А, значення якої лежать у даному просторі Е і обмежені в своїй сукупності, і нехай, нарешті, для кожного функціонала / ? Е існує границя, в розумінні Moor1 a, lim f(x(a)); простір Е називається слабо пов- ним, якщо для кожної множини А і функції ха> що задовольняють наведені умови, існує таке х0 = Е, що при всіх / Є Е lim / (ха) = / (х0). Спираючись на таке означення слабої повноти Goldstein (Duk Mathematical Journal, V. IV) довів теорему: щоб простір був слабо повний, необхідно і доотатньо, щоб він був регулярний (означення регулярності див. ст, 201). Ряд елементів простору типу (В) називається комутативно збіжним (безумовно збіжним), якщо він збігається незалежно від порядку послідовності своїх членів. З властивості 7°, розд. III, § 3), ст. 32, доведеної для просторів типу (.F), виходить легко, що з абсолютної збіжності ряду завжди випливає комутативна збіжність, але невідомо чи обернена теорема є справедлива також для просторів, які не є просторами з скінченним числом вимірів. В. О р л і ч довів такі теореми (Beitrdge zur Theorie der Orthogonalentwick- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)