Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 209 Іипдещ Studia Math., 1, 1929; див. також: А. Е, Taylor, A note on unconditional convergence, Studia Math., 8, 1939): (1) Сума комутативно збіжного ряду не залежить від порядку його членів. (2) Щоб ряд комутативно збігавсяу необхідно і достатньо, щоб кожний його частинний ряд збігався. (3) Щоб ряд комутативно збігався, необхідно і достатньо, щоб кожна частинна послідовність його сум слабо збігалася до певного елемента. Звідси, при умові, що простір Е є слабо повний, виходить, що для комута- тивної збіжності ряду 2! хп елементів з Е, необхідно і достатньо, щоб ряд П==1 00 Ж І/(жп)і збігався для кожного лінійного функціонала f {%), означеного в Е. Останній висновок дозволяє для слабо повних просторів встановити кілька важливих властивостей комутативно збіжних рядів елементів, аналогічних властивостям комутативно збіжних числових рядів. Так, наприклад, ряд 00 2/ яп комутативно збігається, якщо існує таке число М > О, що | хп + хп + + ... + %Пк І < М для довільної системи різних індексів nv n2, ..., пк, або 00 також, якщо ряд ]? гпхп збігається для довільної послідовності чисел Un\9 збіжної до 0. Ці теореми важливі в теорії ортогональних рядів. РОЗДІЛ X. § 1. Відносно теорії лінійних рівнянь, розвиненої в цьому розділі, див. F. Hausdorff, Zur Theorie der linear en Rdume, Journ. f. reine u. angew. Math., 167 (1932), ст. 294—311і. Теореми цього параграфа для випадку Е = Е' = (IX2)) довели Е. Hellinger і О. Toeplitz (див. Integralgleichungen und Oleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Encyklopedie der Math. Wiss., Leipzig, 1923—1927). У загальнішому випадку, де Е = Е' = (Ь(р)) для р > 1, теореми 1 і 3 подав F. R і є s z (1. с, Math. Ann. 69 (1910), ст. 449—497), а для Е = Е' = (І{р)), де р > 1, той же автор подав у своїй книжці: Les syst&mes d"equations lineaires dune infinite d'inconnues, Paris, 1913. Теореми 2 і 4 для E — E' = (L(p)) і відповідно для (Z^), де р > 1, довів С. Сакс (Remarques sur les fonctionelles lineaires dans les champs L(p\ Studia Mathematica I (1929), ст. 217—222). Теорію лінійних рівнянь для простору типу (Во) узагальнили С. Мазур і В. О р л і ч. Метод, який уживали ці автори, є відмінний від методу, який я розвинув. Вихідною точкою є теорема С. Мазура про існування опорної площини (див. ст. 200), яка справедлива також у просторах (Бо). На основі цієї теореми доводяться такі теореми: нехай Е — простір типу (Во); для того, щоб понеепсна множина W C1E з центром 0 була нормуюча, необхідно і достатньо у щоб вона була всюди густа в певнім околі ©; для того, щоб обмежена множина R (^Е мала таку властивість* що кожний елемент 00 00 х? Е мав вигляд х = ? &nxw ®е 2! І &п І < + °°> хп Є -^ необхідно і до- п=гі п=і 1 Російський переклад див. Ф. Хаусдорф, Теория жножеств, ОНТИ (1937). Додаток. 14 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)