Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
210 Зауваження стаптьо, щоб вона була нормуюча. При цьому кажемо, що множина LQ.B є нормуюча, коли вона має таку властивість: якщо /п (х) є такі лінійні функціонали, що | fn {%) | < N (п = 1, 2, .. .) для х G Z) де N стале, то існує таке є > 0, Щ° І fn (х) І < ^ (п = 1> 2, ...) для ж Є Е, | ж | < є, де М стале (див., наприклад, доведення теореми 1 цього розділу, яке подали С. Мазур і В. Орліч, надруковане у монографії І- Kaczmarz und H. Steihaus, Theorie der Orthojonalreihen, Warszawa — Lw6w, 1936, ст. 34—36). § 2. Розвинену F. R і є s z' ом теорію можна узагальнити в тому випадку, коли U(x) не є лінійною цілком неперервною операцією, але такою лінійною операцією, що певна її ітерація Un(x)є цілком неперервною операцією (С. Ни- кольский. Линейние уравнения в метричеспих пространствах, ДАН СССР, 1936, т. II (XI), ст. 309—312); треба зауважити, що, наприклад, ліпійна опе- і рація U (х) = jK (t, s) x (з) ds в просторі (?), деі?(М) є обмеженою функцією о в 0 <: t, s <^ 1, може не бути цілком неперервною і при цьому може мати ту властивість, що операція U2 (х) є цілком неперервна (Ю. Сирвинт, 05 ин- тегральньіх преобразованиях прострапства Ь, ДАН СССР, 1933, т. XVIII, ст. 255-257). Коли в теоремі 15, ст. 132, відкинути умову, що операція U (х) є цілком неперервна, то розглядані рівняння можуть не мати однакової кількості лінійно- незалежних розв'язків. Але можна довести, що для | U\ = 1 маємо нерівність п <; v, що переходить в рівність, якщо крім цього простір Е є слабо повний і такий, що всі обмежені там множини є слабо компактні (див. S. Mazur, Vber die Nullstellen linearer Operalioncn, Stud. Math, II (1930), ст, 11—20). З цієї теореми С. Мазур вивір висновок (Vber die schwaehe Konvergenz und einen Satz von Birkhoff, Ann. de la Soc. Polonaise de Math., 12, 1934), що коли U (x) в лінійна операція, яка перетворює простір Е типу (Б) в його частину, причому простір Е є слабо повний і множини, обмежені в ньому, є слабо 1 т компактні, а 1 E7| «< 1, то для х ? Е існує lim — 2! Un (x)l Чя теорема П->00 т п-1 є узагальнення:.! відомої ергодичної теореми Birkhoff'a із статистичної механіки в формулюванні L Neumann'а. Для випадку простору (?(р)), р > 1, див. F. Е і є s z , Some mean ergodic theorems, J. London, Math. Soc, 13, 1938; див. також. К. Josida, Mean ergodic theorem in Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Jap., 14, 1938. § 3. Див. роботи: M. K p є й н , О линейних операторах, оставляющих инваргигитним некоторое коническое множество, ДАЙ СССР, 1939, т. XXIII, ст. 749—752; М. Рутман, Об одном спвциальном плассе вполне непрерив- них линейньїх операторові ДАН СССР, т. XVIII, ст. 625—627; Sur Ies operations totalement continus lineaires laissant invariant un certain cone, Матем. сборник, т. VII, 1940, ст. 78-96. РОЗДІЛ XL Найдавнішим відомим прикладом ізометричного перетворення просторів типу (jB) один в одного є приклад ізометричного перетворення простору (L2) в (12% який одержуємо з теорем Riesz-Fischer і Parseval-Fatou. § 8* Невідомо, чи теорема 2, ст. 142, справедлива для просторів типу (F); як зауважили С. Мазур і S. Шат, вона є несправедлива для просторів типу ((?). Ці автори дійшли до такого важливого висновку з наведеної теореми 2: В метричному просторі Е не можна означити дій (додавання елементів і множення на числа) двома різними способами man, щоб в обох випадках множина Е являла собою векторіальний нормований простір і такий, щоб елемент 0 простору Е був однаковий. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)