Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Зауваження 211 § 4. Невідомий жодний приклад двох сепарабельних просторів типу (23) з нескінченним числом вимірів, які не були б гомеоморфні; з другого боку, невідомо як довести, що, наприклад, простір (С) в гомеоморфний з (с). Одночасно не вдається довести гомеоморфізм між просторами (С) і (І). Але простори (і/р)) і (іЩ є гомеоморфні для довільних р > 1 -<q (див. S. Mazur, Une remarqtte sur Vhomeomorphie de champs fonctionnels, Studia Math. I (1929), ст. 83—85). Зокрема здається особливо цікавим питання, чи простір (С) є гомеоморфний з простором неперервних функцій, означених у квадраті. Невідомий жодний приклад двох компактних метричних просторів з скінченною, але неоднаковою кількістю вимірів (в розумінні Menger'a-Урісона) і таких, щоб простори неперервних функцій," означених у них, були гомеоморфні. § 5. Поняття обертання стосується взагалі до просторів типу (О). Може трапитись, що єдиним можливим обертання?^ навколо 0 є перетворення U (х) = х; у просторах типу (F) перетворення V (х) = — хе також обертанням навколо 0. Існують простори типу (В) з нескінченним числом вимірів, в яких маємо тільки ці два обертання навколо ©. З загального вигляду (15) обертань у просторі (Ь(2)), наведеного на ст. 148 (вже давно відомого), виходить, що для довільної пари елементів х і у з нормою 1 там існує обертання навколо 0, яке перетворює х в у. С. Мазур поставив питання, чи кожний сепарабельний простір типу (В), з нескінченним числом вимірів, який має цю властивість, є ізометричний з простором (?(2/V). § 6. Поняття ізоморфізму стосується також до просторів типу (О). Два простори типу (О) є еквівалентні, якщо існує ізометричне і адитивне перетворення одного в другий. Нехай для двох ізоморфних просторів Е і Et типу (В) де U перебігає всі взаємно однозначні лінійні перетворення простору Е в Ег. Якщо (2ії, Ег) = 0, то простори Е і Ех називатимуться майже ізометричними. Ізометричні простори є одночасно майже ізометричні. Обернена теорема є справедлива у всякому випадку для просторів із скінченним числом вимірів, але не можна довести неможливості того, щоб, наприклад, простори (с) і (с0), які не є ізометричні, були майже ізометричні. Розглянемо множину JE всіх просторів, які одержуємо з даного простору Е типу (В), якщо там замінимо норму довільною еквівалентною нормою. Очевидно, що кожний простір, який міститься в JE, є ізоморфний з Е і що кожний простір, ізоморфний з Е, є ізометричний з простором множини JE. Поділимо JЕ на підмножини, відносячи два простори до тієї самої підмпожини і, якщо вони є майже ізометричні. Для двох підмножин іх і і2 множини JE покладемо (iv ь2) = (ЕІ9 Е2)9 де Е} і Е2 є довільні простори, що належать відповідно до ьг і і,. Можна довести, що це означення є однозначне і що множина JE всіх і з такою метрикою являє собою метричний, повний простір. Ці поняття я встановив спільно зС. Мазуром. § 7. Можна розглядати також нескінченні добутки- Позначимо через (Ег х X Е2 х .. .)СУ де Ely JB2, •. • простори типу (Б), простір Е типу (Б), означений так: елементами простору Е є всі послідовності {#n}? де хп ? Еп для п= 1, 2,..«, і такі, що lira |] хп\\ = 0; додавання і множення на числа почленно; норма іхЛіІ = max llaUI. Означуємо аналогічно, наприклад, простори (ЕгхЕ^х X .. .)с. }Е1хЕіх .. .)т і (Ех х Е2 х .. 0 Р\ Де V > 1. . § 8. П. У р і с о н перший довів існування метричного сепарабельного простору, що містить у собі підпростори, які є ізометричні з довільним метричним сепарабельним простором (див. P. Urysohn, Sur un espace metrique uni- versel, Bull. Soc. Math. 161 (1927), ст. 1—38). 14* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)