Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
212 Зауваження § 9* Невідомо, чи з еквівалентності просторів Ег і Ег завжди випливає ізоморфізм просторів Е± і Е2 (див. теор. 11, ст. 159). Простір Е типу {В) називається регулярним, якщо кожний лінійний функціонал F (X) в Е має вигляд F (X) = X (#0), де #0 ? Е. Якщо простір Е є сепа- рабельний і одинична сфера в ньому є слабо компактна в собі, тобто є слабо компактна і слабо замкнена, то за теоремою 13 простір Е є регулярний. За В. Гантмахер і В. Шмульяном, у випадку довільного простору -Б, з того, що Е є регулярним простором, випливає, що одинична сфера в ньому є слабо компактна в собі (О линейних пространствах, единичная сфера кото- рих слабо компактна, AH CCCP, 1937, т. XVII, ст. 91—94). Ці автори подають далі такі теореми: Щоб простір Е був регулярним, необхідно і достатньо, щоб виконувалася така умова: для кожної трансфінітної обмеженої послі*- довності {#«&}<&<;# елементів з Е існує такий елемент х?Е, що lim/ (#|) «< ix)<s I*111 / (#?) для / Є Е; якщо в просторі Е одинична сфера є слабо компактна в собі, то цю властивість мав одинична сфера в просторі Е. В. Шмульян довів (On the principle of inclusion in the space of the tupe (B), Матем. сборкик, 5, 1939) теорему: Щоб простір Е був регулярним, необхідно і достатньо, ул^об виконувалась умова: якщо {^С|}^<^ е спадною послідовністю замкнених конвексних і обмежених у просторі Е множин, нерівних 0, то переріз всіх цих множин є ^ 0. Треба ще згадати, що за Д. М і л ь м а н о м (О некоторих признаках регулярности пространства типа (В), АН СССР> 1938, т. XX, ст. 243—246) кожний рівномірно конвексний простір типу (В) є регулярний. РОЗДІЛ XII. § 1. Існують простори типу (В) сепарабельні і рівної лінійної розмірності, але не ізоморфні (див. S. В a n a c h und S.Mazur, Zur Theorie der linear en Dimension, Studia Math., 4, 1933). § 8* Paley довів {Some theorems on abstract spaces, Bull. Amer. Math. Soc«, 42, 1936), що простір (№) не є ізоморфний з простором (Ь^), коли числа р і q задовольняють одну з таких умов: (1) р> 2> q; (2) q> 2> р; (3) 2< q< p; невідомо, чи ця теорема справедлива також для випадку, коли р < q < 2. Перелічимо тут ряд ізометричних відповідне ізоморфних і відповідно роз- мірнісних властивостей, тобто таких властивостей, які залишаються тоді, коли переходимо від простору типу (В) з цими властивостями до довільного ізометричного, відповідно ізоморфного або рівної лінійної розмірності простору. Ізометричні властивості: (1) Із слабої збіжності послідовності елементів |#nj до елемента х0, де lim \хп\ = |а?0|, випливає lim \хп — хо\ = 0. (2) 3 |жо| = 1 випливає існування одного і тільки одного такого лінійного функціонала /(#), що / (а??) = 1 і |/| = 1. (3) Іі і уц /() щ / (? |/| (3) Ізометрія простору із спряженим простором. (4) Ізометрія простору з кожним лінійним і замкненим підпростором з нескінченним числом вимірів. (5) Ізометрія між кожною парою лінійних підпросторів з даним скінченним числом п > 2 вимірів. Ізоморфні властивості: (6) Існування базиса. (7) Існування для кожного замкненого підпростору 8 такого лінійного замкненого підпростору Т9 що кожний елемент х можна представити тільки одним способом за допомогою формули а? = s + *, де$Є?і t ? (Г. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)