Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
20 Розділ І. Групи Легко бачити, що, залежно від того, чи Я є множина замкнена, відкрита, негуста, першої чи другої категорії, або вимірна (jB), множина хН є також замкнена, відкрита, негуста і т. д. Якщо z внутрішня точка множини Я, то й х + z внутрішня точка множини хН. Непорожня множина Я СІ Е називається підгрупою множини Е, коли з формул х ? Н і у ? Я випливає х -\-у ? Н і — х ? Н. Тоді маємо, очевидно, також 0 ? Я. Множину називають зв'язною, якщо вона не є сумою двох непорожніх і замкнених у собі множин, без спільних елементів. Якщо Е зв'язна множина, а Я її підмножина одночасно замкнена й відкрита, то маємо Я — Е, бо інакше множина Е —Я була б також непорожня й замкнена. Теорема 1. Кожна підгрупа Я CZE, що є другої категорії і задовольняє умову В air є'а, є одночасно в Е замкнена і відкрита. Доведення. За теоремою 1, ст. 14 існує така відкрита сфера К, в якій Я є всюди множиною другої категорії. Можна, очевидно, прийняти, що центр у0 сфери К належить до Я. Тому що Я задовольняє умову Ваіге'а, то множина К—Я є першої категорії. Але у0 є внутрішньою точкою сфери К, отже, точка 0 = — у0 + у0 є внутрішньою точкою множини (—уо)К. Тим самим існує відкрита сфера K±(Z(—у0) К з центром 0. Маємо (—у0) [К—Я] = = (—Уо)К — (~ус)Н. Тому що (— уо)Н = И, бо Я є підгрупою, то маємо (— у0) [К — Я] = (— у0) К — Я Z)%i — Н> оскільки ж К—Я, а також (—у0) [К—Я] є першої категорії, то звідси виходить, що множина Кг—Я є також першої категорії. З другого боку, для кожного х ? Кг маємо х ? хКх, бо 0 ? Кх і х + 0 = х. Отже, Кг • хКг ф. 0. Тим самим існує відкрита сфера І2С^г осКг з центром х. Маємо К2~Н С ^і ~Н і К2 — xJH(Z С2 хКг — хН — х [Кг —Я], так що множини К2 —Я і К2 — хН є також першої категорії. З цього виходить, піо Я • хН фО\ значить є таке у, що у ?Я і у ? хН, а звідси —х ~{-у ? Я; а зваживши, що Я в підгрупою, маємо — х == — х -f у — у ? Я, так що х?Н. Ми довели, що Кг (Z Н і тим самим 0 є внутрішньою точкою множини Я. Через те що для кожного у ? Н маємо уН — Я і у = у + 0, то кожна точка у множини Я є її внутрішньою точкою. Отже, Я відкрита множина. Щоб довести, що вона також замкнена, покладемо Ііід уп = уу Л->оо де уп?Н для кожного п = 1, 2, .. . Отже, тому, що lim (у — уп) — = 0 ? Кх (Z Н> т0 існує таке п, що у — Уп?Кг(^2Шу а звідси у = = у — уп-\-уп?В., що й треба було довести. З цієї теореми випливає Теорема 2. Якщо простір Е зв'язний, то кожна підгрупа Я (Z.E другої категорії, яка задовольняє умову Ваіге'а, є ідентична з простором Е. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)