Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Адитивні і лінійні операції 21 Зауваження. Тому, що кожна вимірна (В) множина задовольняє умову В а і г є'а, то теореми 1 і 2 справедливі також у тому окремому випадку, коли Н є вимірною (В) множиною. § 3. Адитивні і лінійні операції. Нехай Е і Ег є простори типу (G) та U(x) означена в Е операція, що її протиобласть лежить в Ег. Операцію U(x) називають адитивною, якщо U(x + у) = U(x) + + U(y) для всіх х?Е і у?Е. Тоді маємо U{x) = U{x +©) — = U(x) + U(Q)9 а звідси І7(0)=0, і через те що 0 = Z7(0) = U(x — х) = U(x) + Ї7(— х), маємо Ї7(—я?) = — ?/(«). Операцію адитивну й неперервну називають лінійною. Теореми 3. Кожна адитивна й неперервна в одній точці операція є лінійною операцією. Доведення. Нехай х0 є точка неперервності адитивної операції U\x). Приймемо хп?Е, х?Е і 1ітіГп = #. п->оо Маємо Нт (хп — х + х0) = а?0, звідси lim U(xn — х + ^о) = &(хо) і lim [U(xn) — U{x)-\- U(x0)] — U(x0), отже, lim U(xn) = U(x)9 так що операція U(x) є неперервна в довільній точці х, значить, вона лінійна. Теорема 4. Кожна адитивна вимірна (В) операція є лінійна. Доведення. Адитивна вимірна (В) операція U(x) за теоремою 4, ст. 17, задовольняє умову В аі г е'а. Тому вона неперервна на певній множині Н, де Е—Н множина першої категорії. Нехай lim xn = 0. л->оо Множина хп [Е —Н]=Е — хлН є для кожного п = 1, 2, .. ., множиною першої категорії і, тим самим, множиною першої категорії є також множина (Е — Н) + 2хп[Е—Щ=Е — Н+ 1 (Е — ХпН) =Е —Е -UxnH, п—1 п=1 п=1 яка (за теоремою 2, ст. 15) не є ідентична з цілим простором. Тим самим існує така точка х, що маємо х ? Н і х ? #пі/ для кожного w = 1, 2,. . ., а звідси (— хп + #) G -Й"? отже, на підставі рівності Km (— хп + х) = х> одержуємо Km U(— хп + х) = З останньої рівності виходить: Km [?7(—хп) + ^(^)] — U(x)9 і остаточно Km |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)