Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
22 Розділ І. Трупи Отже, операція U(x) є в точці 0 ?Е неперервна, і, на підставі теореми 3, також лінійна. Зауваження. З способу доведення бачимо, що теорема справедлива для таких адитивних операцій, що задовольняють умову Ваіге'а. Теорема 5. Якщо простір Е є зв'язний, а {Un(x)} послідовність лінійних операцій, то множина таких точок х, що для них існує границя lim Un(x), є або множиною першої категорії, або ідентична з простором Е. Довздення легко виходить з теореми 2, ст. 20, бо5 з одного боку, множина таких точок х, для яких послідовність операцій {Un(x)} збігається, є на підставі теореми 9, ст. 18, вимірна (В) і тим самим на підставі теореми 3, ст. 16, задовольняє умову В air e'а, а з другого боку, множина всіх точок збіжності утворює групу. § 4. Одна теорема про згущення особливостей. Теорема 6. Нехай дано зв'язний простір Е і подвійну послідовність лінійних операцій {Up, q{x)}. Якщо для послідовності точок {хр} не має границі lim Up, q (хр) для жодного р = 1, 2, ..., то множина Н то,ких точок х, для яких границя lim Up, q (x) не існує для жодного х ?Н, яке б не було р = 1, 2, ..., є множиною другої категорії, а її доповнення Е — Н є множиною першої категорії. Доведення. Нехай для кожного р = 1, 2, ..., Нр буде множиною точок збіжності послідовності {Up, q(x)}. Маємо НрфЕ, бо, за умовою, хр ? Е — Нр. На підставі теореми 5, ст. 22, множина Нр 00 є першої категорії. Отже, такою самою множиною є ^ Нр, і цим завершується доведення, бо маємо Н = Е — 21НР. р=і |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)