Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ II. ЗАГАЛЬНІ ВЕКТОРІАЛЬНІ ПРОСТОРИ. § 1. Означення та елементарні властивості векторіальних просторів. Припустимо, що кожній упорядкованій парі х, у елементів даної непорожньої множини Е відповідає елемент х + у множини Е (сума елементів х і у), а кожному числу t і кожному х ? Е припорядко- вано елемент іх (добуток числа і на елемент х) множини Е так, що ці операції, тобто додавання елементів і множення чисел на елементи, задовольняють такі умови (де я, у і z — будь-які елементи множини Е, а а, Ь — числа): 1) х + у = у -!- х, 2) х + (у + z) = (х + у) + z, 3) з х -{-у = х -{- z виходить у = z, 4) а (х + у) = ах + ау, 5) (а + Ь) х = ах -\- Ьх, 6) а (Ьх) = (аЬ) х, 7) 1 • х = х. Множину Е, що задовольняє наведені умови, називаємо векторіальним, або лінійним, простором. Легко бачити, що тоді існує один, і тільки один, такий елемент (позначимо його через 0), що завжди маємо х + 6 = х, аз рівності ах — Ьх, де х ф 8, виходить а = Ь, а також з рівності ах = ау, де а^О, виходить х = у. Приймемо ще такі означення: _ж = (—1)ж і х — у = х + (— у). Приклади 1—10 метричних просторів, розглянеш на ст. 12—14, є прикладами векторіальних просторів, коли там прийнято звичайні означення додавання елементів та множення чисел на елементи. Коли хфу, то множину всіх елементів вигляду tx -\-(\ — І)у, де t — будь-яке число інтервалу [0, 1], будемо називати сегментом, який сполучає х і у. Множину G CLE називають конвексшю, коли вона містить у собі всі сегменти, що сполучають її довільні елементи. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)