Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
24 Розділ II. Загальні векторіальні простори Коли хг, х2, ..., хп — елементи векторіального простору, а ссі9 а2, ..., ап — будь-які дійсні числа, то називають лігЛйпою комбінацією елементів хг, х2, ..., хп. § 2. Поширення адитивних і однорідних функціоналів. Нехай Е і Ег є два векторіальні простори, a f(x) така, означена в Е, операція, що її кротиобласть міститься в Ev Операцію /(#) називають адитивною, якщо для кожної пари елементів х, у дійсна формула: операцію називають однорідною, якщо для кожного елемента х та для кожного числа t: Теорема Iі. Коли дано 1° такий функціонал р(х), означений в Е, що для кожних х і у з множини Е, маємо <р (х -Ь у) < р (х) + р (у) і р (tx) = tp (х) для t > 0, 2° такий адитивний і однорідний функціонал f(x), означений у векторіальному просторі GCLE (очевидно, з такими самими означеннями основних операцій), що для кожного х ? G маємо f(x)<p (х), то завжди існує такий адитивний, однорідний і означений в Е, функціонал F(x), що маємо F(x) < р (х) для кожного х?Е і F(x) =/ (х) для кожного х ? О. Доведення. Можемо прийняти, що ОфЕ; нехай х0 ? Е—О. За умовою 2° для х' ?0 і х" ?0 маємо: < р (х" + х0) + Р (— ж' — #о)> а звідси -р(~х' - х0) -/ {х') < р (х" + я0) -/ (х"). Отже, числа т = sup [— р (- х — х0) —/ (х)] і М = inf [p (x + xo)—f (x)] є скінченні і ми маємо т < М. 1 Див. S. Banach, Sur les fouctionneles Ііпбаігеа II, Studia mathematica I (Lwow, 1929), ст. 223—239, зокрема ст. 226. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)