Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Поширення адитивних і однорідних функціоналів 25 Якщо г0 задовольняє нерівності т < г0 < М, то для кожного х ? G маємо: — р{—х — х0) —/ (х) <го<р(х + х0) —f (х). (1) Розглянемо множину Go всіх таких елементів у, що мають вигляд у = х + ?#о> Де х Є Ф а * ff число. (2) Сг0 є, очевидно, векторіальний простір. Покладемо 9 (У) =/(*)+fro, де елемент і/ означений за допомогою рівності (2); через те що х0 ? Е — 6г, то кожний у ?G0 допускає точно одне представлення вигляду (2) так, що функціонал ер (у) означений в О0 однозначно. Бачимо також, що цей функціонал є в б?0 адитивний і однорідний, а в множині О він тотожний з функціоналом / (х). Доведемо, що 9 (у) <р (у) для кожжго у ? Go. (4) Справді, коли запишемо у у вигляді (2), то можемо прийняти що і^ф§. Підставивши в рівність (1) замість х величину — і t помноживши на і її праву або ліву сторону, залежно від того, чи і > 0, чи t < 0, одержимо tr0 < р (х + tx0) —/ (х), а звідси, на основі рівнесті (3), виходить нерівність (4). Тепер бачимо, що досить цілком упорядкувати множину J?—G, щоб за допомогою вище описаного послідовного поширення функціонала / (х) дійти до функціонала F(х), який задовольняє твердження нашої теореми. Висновок. Коли дано такий функціонал р (#), означений в Е, що для всяшх х?Е і у ?Е маємо Р(х + У) <р(х) +р(у) і V (tx) = Ьр (х) при і > 0, то існує такий адитивний і однорідний функціонал F(x), означений в Е, що для всякого х ? Е маємо F(x) <p(x). Справді, розглянемо якийсь один елемент х0 ? Е і позначимо через G множину всіх елементів вигляду tx0, де t — довільне число. Тоді G є векторіальний простір. Приймаючи в ньому / (tx0) = tp (x0), одержуємо для довільного t, / (tx0) < р (tx0), бо з t > 0 виходить tp (х0) = р (txQ), азКО випливає 0 = р (0) < р (xQ) + + Р (— #о)> отже> Р (хої > —РІ— х0) і, нарешті, tp (x0) <C—tp(— ж0) = — p{txo)> отже, досить застосувати тільки доведену щойно теорему 1. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)