Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
Розділ 11. Загальні векторіальні простори § 3. Застосування: узагальнення поняття про інтеграл, про міру і про границю. Тепер будемо розглядати деякі інтересні застосування теореми 1 та висновку з цієї теореми. 1. Нехай Е є множина дійсних, обмежених і означених на колі довжини 1 функцій х (в), де через s позначаємо дугу цього кола, відмірювану від сталої точки в одному й тому самому напрямі. Приймаючи звичайні означення операцій, бачимо, що Е є векторіальний простір. Позначимо тепер для кожного елемента х = х (s) з Е через р (х) нижню межу всіх чисел М (х\ <*!, а2, ..., ап) вигляду 1 п М{х) aL, а2, . . ., а„) = sup — 2 х (8 + а*)> -oo<s<+oo 1Ь fe=l де аі9 а2, ..., ап довільна послідовність чисел. Функціонал р (х) задовольняє всі умови висновку з теореми 1. Справді, легко бачити, що, передусім, завжди маємо р (tx) = tp {х) при t > 0. Далі, якщо дано два елементи х = х (s) і у = у (s) простору Е і число є > 0, то існують такі скінченні послідовності чисел а1г а2, ..., аи і р1? [32, .. ., [З», що М(х; аь а2, ..., а«) < р (х) + є і М(у; (і13 р2, ..., (3„) < Розміщуючи всі числа at + (3/, де і = 1, 2, ..., и, j — 1, 2,..., v, будь- яким способом у послідовність yij *'2> • • •, Ти», маємо ^(^ + ^) <М(х-\-у; уі, Т2, ••-, їш») (6) і, як легко бачити, ; аі5 а2, ..., аа) + W. (7) З формул (5) — (7) випливає р (х 4- 2/) < Р (%) + Р (у) + 2 є, а звідси, оскільки є є довільне число, виходить р (х + у) <р \х) + р {у). Тепер розглянемо функціонал F(x), існування якого виходить 8 висновку з теореми 1. Якщо х {s) = 1, то маємо р (х) = 1 і р (— х) = — 1, а з нерівностей F(x) < р (х) і Fix) — —F( — х) > — р (— х) одержуємо F(х) = 1. Якщо ж (в) > О/ то маємо р (— ж) < 0, але і^(о;) = — — F(— х) > —р (-- #); отже, також F(x) > 0. Функціонал .F (х) задовольняє, для всякого числа <s0, рівність F[x(s-\~so)]=F[x(s)]. Справді, коли для h = 1, 2, ..., приймемо у ($) = х (s -f 50) — # (s) і а* = (h — 1) sQ, to для всякого п одержимо: p(y) <M(y; av a2, ..., an) =* —- sup [x (s + ns0) — x (s)], 71 — << |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)