Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Застосування: узагальнення поняття про інтеграл 27 отже, р(у)<0; так само одержимо р(— у) <0. Але F(y) <р(у) і F(y) = —F(— у) > — р (— у) і тим самим F(y) = 0. Позначивши тепер через Jx (s) ds функціонал — {F [х (s)] -f- 4-F[x(l —s)]}, одержимо таку теорему: Кожній функції х (в) класу Е можна припорядкувати число Jx (s) ds так, що (коли позначити через х (s) і у (s) довільні функції класу Е, а через а, 6, s0 — числа) задовольняються такі умови: 1) f[ax (б) + by (s)] ds = afx (s) ds -f- bfy (s) ds} 2) Jx (s) ds > 0, якщо x (s) > 0, 3) Jx (s + So) d* =JX (s) ^' 4) Jx (1 — s) ds =Jx (s) ds, 5) Легко перевірити, що функціонал Jx (s) ds, який задовольняє умови 1) — б), мав завжди значення проміжне між нижнім і верхнім Рімановими інтегралами функції х (s). Отже, для кожної ін- тегровної {R) функції, цей функціонал тотожний з інтегралом функції. Для функцій, сумовних (L), досліджуваний нами функціонал не завжди тотожний з інтегралом (L) цих функцій. Але, виходячи з векторіального простору G, який є якраз класом цих функцій, і означаючи в ньому функціонал / (х) як інтеграл (L) функції x(s)?G, на основі теореми 1, одержуємо такий функціонал F (х)} означений в просторі Е, що функціонал jx (s) ds = = — {F[x (s)] -\-F[x(l —5)]} задовольняє, очевидно, всі умови 1) —5) і для кожної сумовної (//) функції є тотожний з інтегралом цієї функції. 2. Розглянемо тепер клас К всіх множин, що містяться на наведеному колі, і позначимо через Ао саме коло. Прийнявши для кожної множини А цього класу \ь(А) =Jx(s)ds, де х (s) є характеристична функція множини А, а тим самим і функція простору Е, досліджуваного в п. 1, одержимо теорему: Кожній множині А класу К можна припорядкувати число и. (А) так, що задовольняються такі умови (де А і В — довільні множини класу К): 1) {jl (А -\-В) = (л (А) + {А (В), якщо АВ = 0, 2) {х (А) > 0, 3) (л. (А) = (л (В), якщо А^В, |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)