Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
28 Розді,і> 11. Загальні векторіальні простори Функціонал [і (А), який задовольняє умови 1)—4), міститься між внутрішньою і зовнішньою жордановими мірами множини А. Отже, для кожної вимірної (/) множини цей функціонал тотожний з мірою множини. Для довільних вимірних (L) множин цей функціонал не завжди є тотожний з їх мірою (L), але подібно до того як вище, можна справу повести так, що й ця властивість буде задовольнятися1. 3. Нехай Е є множина всіх дійсних, обмежених, означених в [0, +оо] функцій ж (в); за звичайними означеннями операцій, Е є векторіальний простір. Для кожного елемента х = х (в) множини Е, позначимо через П р(х) нижню межу всіх чисел lim — ]? х (в + <**), Де аі> а2> • • •> а* — будь-яка скінченна послідовність додатних чисел. Легко перевірити, що так означений в просторі Е функціонал р (х) задовольняє умови висновку з теореми 1, ст. 2G. Коли позначимо через Lim ж (в)2 функціонал F(x), який існує на S-Voo підставі наведеного висновку, то одержуємо таку теорему: Кожній функції x(s)?E можна припорядкувати число Lim ж (в) s->oo так, що задовольняються такі умови (де ж (в) і у (в) — довільні функщї простору jE/, та а, 6 і s0 > 0 — числа): 1) Lim [ax (в) + by (s)\ = a Lim x (s) + b Lim у (в), S->oo S->00 2) Lim x (s) > 0, якщо х (s) > 0, 3) Lim x (s -f s0) = Lim ж (s), 4) Lim 1 = 1. S->ao Функціонал Lim#(s), який задовольняє умови 1)—4), міститься S-Vao між Ппіж(^) і lima;(^). Отже, він завжди тотожний з lim x (<*), якщо тільки ця звичайна границя існує. 4. Нехай |^п} є будь-яка обмежена послідовність. Означимо в інтервалі (0, +оо) функцію х (s) за допомогою такої умови: х (в) = = ?п для п — 1 < s < п і п = 1, 2, ... Отже, функція х (s) є елементом множини Е, яку ми розглядали в п. 3. Приймаючи Lim ?n = п->оо (s), де \Amx(s) означене так, як в п. З, маємо теорему: Кожній обмеженій послідовності {?п} можна припорядкувати число Lim ?n тшс, wfo задовольняються такі умови (де {Еп} і {т)п} — s->-oo довільні обмежені послідовності, а а і 6 — числа): 1 Див. S. В а п а с h , Sur le probUme de la mesure, Fundamenta Mathemati- cae IV (1923), ст. 7—33. 2 Знак Lim позначає тут узагальнену „границю", а символом lim будемо позначати виключно границю в звичайному розумінні. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)