Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Загальна форма лінійних функціоналів 55 Розглянемо тепер випадок г = 1. Нехай х (t) = -у- для и < t < и -+- h її 0 для 0 < ? < w і ад -f ¦ ^ < ? ¦< 1. Згідно з (10), маємо / (х) | = fx(t)oi(t)dt h u+h /a (t) dt a а тому що І / (#) | < | / | • || x || == | / | • 1, то маємо f<x.(t)dt u Отже, функція g (u) = ja (t)dt задовольняє умову Lipschitz'a, о а тому що майже всюди д' (t) = a (t)> то доходимо до висновку, що майже всюди |а(0|<|/|. (14) Якщо тепер х = х (t) в будь-яка інтегровна функція і послідовність { хп (t)} визначена формулами (12), то маємо ЗВІДКИ / (х) = lim / (хп) = lim fxn (t) a (t) dt = fx (t) a (t) dt, бо Отже, тому що a?n (*)«(*) І < х(і)л{і)\. fx(t) a < J | x(t)\dt - vrai max | a (t) |, то згідно з (14) одержуємо рівність I / I = vrai max | a (t) 0<t<l Так ми довели теорему1: Кожний лінійний функціонал f (x), означений у просторі (L), має вигляд (х) = f х (t) a (t) dt, де а (t) майже всюди обмежена функція і | / | = vrai max | a (t) |. о<кі 1 Цю теорему довів перший Г. Штейнгауз (Additive und etetige Funktionaloperationen, Math. Zeitschr. б (1918), ст. 186—221). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)