58 Розділ IV. Нормовані простори Коли дано довільний лінійний функціонал / (х), означений в то покладемо / (xt) = d, звідки, на основі (20), ао (21) Розглянемо попереду випадок г = 1. Нехай Е,п — sign Сп і ?; = О для і ф п. Отже, маємо / (х) = | Сп \ < < |/|. З другого боку, для кожної послідовності # = {} маємо 00 sup I d |, тебто (/ I == sup I d |. Так ми нерівність І / (х) І < І 2 \%і І довели теорему: Кожний лінійний функціонал f (х), де х — {?і} означений в (І), має вигляд 00 i=i де I/I = mg\d\. Розглянемо тепер випадок, коли г > 1. Нехай хо—{Е%}, де ^' І 0 для г > w п і j = 1. Отже, маємо || х° II = І/ 2' г 8 " " F іГі 2 і=1 звідки, на основі (21), / (ж0) = п ?|Сі|*; тим самим V 2 1 і=1 Сі \s < |/ , а зважаючи на те, що я. довільне , то]/2" F і=і <|/|. З другого боку, для кожної послідовності х = маємо \f (х)\ = 1=1 <V Z b\r'V 2'\Ci\s, звідки f 1=1 Г і=1 остаточно випливає рівність Так ми довели теорему:
|