Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Загальна форма лінійних функціоналів 59 Кожний лінійний функціонал f(x), означений в (Z(r)), де т > 1, має вигляд 5. Простір (т) і його сепарабельні векторіальні підпростори. Нехай Е — сепарабельний векторіальний простір, розташований в (т), отже, елементами його є обмежені послідовності чисел. Означимо в Е таку саму норму, як в (т), покладаючи х , де х = Нехай {#„}, де хп = {??}, така послідовність елементів простору Еу що утворює счисленну і густу в Е множину. Розглянемо спочатку х± і х2. Для будь-якого є2 > 0 встановимо існування такого нат)фального числа &2> що для довільної пари дійсних чисел Хх і Х2: < max | ХХЙ + ><2^? І • (1 + ^)- (22) Справді, відкидаючи випадок, коли числа ?,} і ?% пропорціональ- ні, як тривіальний, допустимо навпаки, що для кожного натурального числа 1с існує така пара чисел \\ і X*, що max Позначаючи через т& найбільше з чисел (X* j і | X* j і поклада- ук ук lie ^1 • lie *^2 ^ ючи ^ == _ і 1? — _1, ми мали б fe + Ф* І > max | Z^J + ї*5? | • (1 + ЧІ (23) K<fc Але через те що для кожного натурального к маємо 1 < 11\ | -f- + 11\ | < 2, то з послідовностей {?j} і {Zg} можна вибрати збіжні послідовності. Отже, існує така послідовність {&/}, що послідовності ffl1} і {Z*'} збігаються відповідно до чисел Іг і 12, де 1 < | Іх | -\-1 /21 < 2. А тому що Hm jfc,- = -f oo і, з другого боку, Ит | {1^ + Z2o;2) — (l^xx -f г^ж,) 1=0, то на підставі (23) будемо мати | Z^j + hx21 > SUP I hZt + ^2^? І * (1 + s2), що є неможливе, бо |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)