Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
60 Розділ /V. Нормовані простори ва означенням маємо: | Іххх + hx2 і — SUP I h%i ~Ь h^l I- 3 доведення 1<ї<оо існування такого натурального числа Іс2, яке для кожної пари чисел Лх і Х2 задовольняє умову (22), можна з допомогою індукції легко прийти до такого висновку: коли дано довільну послідовність додатних чисел {єп}> то для кожного п > 1 існує таке натуральне кп, що для довільної скінченної послідовності дійсних чисел ХІ5 А2, .. •, Хп, маємо %2 Н h *Л 5 Н Ь (24) Тепер, для кожного даного натурального г^^ позначимо через х\у де г = 1, 2, . . ., щ послідовність Ц Й, . . ., Йп, 0, 0, 0, ... (25) Отже, на підставі (24), для будь-яких чисел Хг, Л2, ..., Хп маємо: -f Нехай тепер f(x) лінійний функціонал, означений в Отже, є„). (26) Х^і + Х2Х2 + . . . 4- ХПССП і як висновок з (26), одержимо: Але через те що, за означенням х\ (див. (25)), маємо Хі Є (С), то за теоремою 5, ет. 48, існує лінійний функціонал /„ (х), означений в (с), який задовольняє умови: Іп №) = І (%і) Для всіх і = 1, 2, . .., п і | /„ | < і / | • (1 + Єп). Беручи на увагу виведену на ст. 57 загальну формулу лінійних функціоналів, означених у (с), і той факт, що на основі (25) всі члени послідовності х\, де і = 1, 2, ..., п, для індексів більших за Тсп, дорівнюють нулеві, приходимо до висновку, що існує скінченна послідовність чисел ап1, ап2, . . ., anjCn, яка задовольняє умови: кп Ц = in (х'і) = і (хі) для і = 1, 2, . . ., п |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)