Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
62 Розділ IV. Нормовані простори Нарешті, покажемо, що Справді, якщо покласти 5 (32) n->oo 7=1 то на підставі (ЗО) маємо | f(x) | < М sup | ?/ J = М • | х j для всіх х Є Е, звідки, внаслідок того, що | / | є таке найменше число, для якого справедлива нерівність | f(x) | < j / | • | х | при всіх х ? і?, приходимо до висновку, що І/1 < М; отже, згідно з (32) і (29) одержуємо рівність (31). З формул (27), (29), (ЗО) і (31) випливає така теорема1: Кожний лінійний функціонал / (я), означений у векторіальному^ еепарабельному просторі Еу розташованому в просторі (т), має вигляд: QO / \Х) — ПШ 2j ап/ч/? п->оо /=1 де х = {Е/} і таблиця дійсних чисел {аП;} задовольняє умови: 1° an/ = 0, для j > kn, де {hn} — послідовність натуральних чисел, 2° 2\*пі\ < |/| для п = 1, 2, ..., 3° Нт І § 5. Замкнені і повні послідовності в просторах (€), (?(-)), (с) і Будемо тепер застосовувати одержані раніше результати до багатьох понять і питань, що стосуються до властивостей окремих просторів, які ми розглядали. Послідовність функцій {xu(t)}, де xn(t)?(C) і 0 < t < 1, називається замкненою в (О), якщо для кожної функції х (t) ? (С) існує ^aJn)rri(O}, яка рівномірно збі- і=1 гавться до функції х (t). 1 Цю теорему довів С. Мазур. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)